Высшая лига (10)

1.

У N ключей от гостиничных номеров потерялись бирки. За какое наименьшее число пробных открываний можно наверняка определить, от какого номера каждый ключ?

2.

Даны 6 точек в пространстве, никакие 4 из которые не лежат на одной плоскости. Докажите, что их можно разбить на две тройки так, что контуры двух треугольников с вершинами в точках каждой из троек будут зацеплены.

3.

Даны 6 точек в пространстве, никакие 4 из которые не лежат на одной плоскости. Докажите, что их можно разбить на две тройки так, что контуры двух треугольников с вершинами в точках каждой из троек будут зацеплены.

4.

Дан остроугольный треугольник ABC и точка M внутри него. Длины сторон треугольника равняются a, b и c.
Докажите, что .

5.

Существует ли убывающая последовательность x(1), x(2), …, x(n), … положительных чисел, удовлетворяющая при всех n > 1 условию
x(n) = x(n²) + x(n³)?

6.

Можно ли раскрасить натуральный ряд в 6 цветов так, чтобы для любого натурального n числа n, 2n, …, 6n окрашены в разные цвета?

7.

Из двух разных прямоугольников один назовем меньшим, если его можно поместить внутрь второго, причем его стороны будут параллельны сторонам второго прямоугольника. Из некоторого прямоугольного листа бумаги (заготовки) вырезали несколько прямоугольников со сторонами, параллельными сторонам исходного прямоугольника. Затем каждый из вырезанных прямоугольников уменьшили. Всегда ли можно было для получения этого "уменьшенного" набора обойтись меньшей заготовкой?

8.

В выпуклом пятиугольнике ABCDE на диагонали BD нашлась такая точка M, что ÐCBD = ÐMEA, ÐCDB = ÐMAE. Докажите, что S_ABDE = S_ACE.

9.

Подряд выписываются числа 1, 2, …, n. Существует ли такое n, что полученное число делится на 137?

10.

Дан единичный круг и фиксировано число d < 2. Двое играющих по очереди проводят в этом круге отрезки без концов длины d, не имеющие общих точек с ранее проведенными. Проигрывает тот, кто не может сделать хода. Может ли кто-нибудь из них выиграть независимо от игры противника?