1863
358
467
всего задач:
всего разделов:
активных пользователей:
  Login: (регистрация)
  Пароль:
    

30 мартра 2005

Форумы снова функционируют.

21 декабря 2004

Видимо в связи с обнаруженными дырами в phpBB, форум был взломан, а через него взломано и всё остальное содержимое ceemat.ru. Всё кроме форума восстановлено, ведется дискуссия по поводу его сохранения.
Приносим извинения за неудобства.

29 сентября 2004

Форум обновился до версии 2.0.10

15 мая 2004

Новый раздел: "Программирование"

16 апреля 2004 года

Задачи Ярославского турнира математических боев — 124 задачи с решениями.

29 марта 2004

Таллинская викторина: занимательные вопросы и задачи для увлеченных химией.

Rambler's Top100

Костромской ЦДООШ СУНЦ МГУ - Школа им. А. Н. Колмогорова.\r\nОфициальный сайт

Первая лига (10)

Страницы:  1 

1.

На катетах AC и BC прямоугольного треугольника ABC как на диаметрах построены окружности w1 и w2 соответственно. Окружность w3, касающаяся гипотенузы AB и окружности w1, проведена так, чтобы она в некоторой точке K касалась продолжения катета BC за вершину B. Аналогично, окружность w4, касается AB, окружности w2 и в некоторой точке M продолжения катета AC за вершину A. Докажите, что MC + KC = 2AB.

 16 Февраля 2004     22:52 

2.

Есть веревочная сетка в виде квадрата 8 × 8, разбитого на ячейки 1 × 1. Какую самую длинную веревку можно из нее вырезать? (От узлов можно отрезать любой конец не нарушая соединения остальных, но нельзя разрезать узел так, чтобы концов не образовалось).

 16 Февраля 2004     23:00 

3.

Дано 2000 точек. Рассматриваются всевозможные способы соединить их отрезками трех цветов так, чтобы из каждой точки выходило ровно по одному отрезку каждого цвета, получившийся граф был связным и не имел кратных ребер. Докажите, что количество этих способов делится на 4.

 16 Февраля 2004     22:53 

4.

Два игрока по очереди делают ходы в следующей игре: первый ставит на шахматную доску ладью, второй передвигает ее ходом коня, первый передвигает ее ходом слона, затем второй снова — ходом коня и т.д. Ставить ладью на клетку, на которой она уже была, запрещено. Проигрывает не имеющий хода. Кто выиграет при правильной игре?

 16 Февраля 2004     23:01 

5.

Докажите неравенство:
(a + 2b + 3c)2 £ 2(a2 + 4b2 + 9c2) + 8ab.

 16 Февраля 2004     23:02 

6.

Натуральные числа 1, 2, …, 100 содержатся в объединении N геометрических прогрессий. Докажите, что N ³ 31.

 16 Февраля 2004     22:54 

7.

Докажите, что для любого многочлена P существует многочлен Q такой, что при всех x P(x) = Q(x + 1) – Q(x).

 16 Февраля 2004     22:55 

8.

Параллелограмм разрезан на несколько выпуклых многоугольников. Докажите, что один из них можно накрыть всеми остальными вместе.

 16 Февраля 2004     23:04 

9.

Докажите, что на ребрах двух единичных кубов можно расставить стрелочки так, что при любом совмещении этих кубов ровно на 6 ребрах обе проведенные стрелочки окажутся одинаково направленными.

 16 Февраля 2004     23:07 

10.

На сторонах BC, AC и AB треугольника ABC выбраны соответственно точки D, E и F так, что треугольники DEF и ABC подобны (ÐA = ÐD, ÐE = ÐB, ÐF = ÐC). Обозначим через H точку пересечения высот DFAE. Докажите, что длина отрезка HD не зависит от выбора точек D, E и F.

 16 Февраля 2004     22:58 
Задач на странице:  5  10  25