Высшая лига (10)

1.

Докажите, что для любых натуральных чисел a и b существует натуральное число n такое, что aⁿ + bⁿ+1 — составное число.

2.

В графе 2000 вершин степени 3. Известно, что количество способов раскрасить его ребра в 3 цвета так, чтобы из каждой вершины выходило ровно по одному ребру каждого цвета, не делится на 4. Докажите, что в этом графе существует гамильтонов цикл (то есть цикл, проходящий по каждой вершине один раз).

3.

Пусть a, b, c — положительные числа. Докажите неравенство:

4.

Существует ли такой выпуклый 1999-угольник, на сторонах которого (в порядке обхода) лежат соответственно 1, 2, …, 1999 точек с целыми координатами?

5.

Числовая последовательность {x_n} задана условиями: x₁ = a, x_n+1 = (2x_n – 1)² для n ³ 1. Докажите, что в любом интервале (α, β) из отрезка [0, 1] найдется такое a, для которого все члены последовательности, начиная с некоторого равны.

6.

Какова наименьшая возможная длина последовательности букв русского алфавита, такой что никакая последовательность букв не повторяется два раза подряд, а при приписывании любой буквы справа это условие нарушается?

7.

Кубическая решетка рассечена плоскостью ax + by + cz = 0, a, b и c — натуральные числа, взаимно простые в совокупности. Докажите, что количество различных многоугольников (с точностью до параллельного переноса), не разбитых плоскостями решетки, в этом сечении равно a + b + c.

8.

На сторонах BC, AC и AB треугольника ABC выбраны соответственно точки D, E и F так, что треугольники DEF и ABC подобны (ÐA = ÐD, ÐE = ÐB, ÐF = ÐC). Обозначим через H точку пересечения высот DFAE. Докажите, что длина отрезка HD не зависит от выбора точек D, E и F.

9.

Многочлены P(x, y) и Q(x, y) от двух переменных имеют целые коэффициенты. Известно, что при всех целых x и y значение P(x, y) делит значение Q(x, y). Докажите, что существует многочлен R(x, y) такой, что R(x, y) = P(x, y) / Q(x, y).

10.

Даны 2 единичных куба. Сначала Петя расставляет на ребрах обоих кубов стрелочки. Потом Вася совмещает эти кубы. Петя выигрывает, если после совмещения кубов больше половины стрелочек одного куба совпадут с соответствующими стрелочками другого куба, а Вася — если совпадут меньше половины стрелочек. Если совпадет ровно половина стрелочек — ничья. Каким будет результат при правильной игре обоих партнеров?