Высшая лига (10)

1.

Докажите, что для любых натуральных чисел a и b существует натуральное число n такое, что aⁿ + bⁿ+1 — составное число.

2.

В графе 2000 вершин степени 3. Известно, что количество способов раскрасить его ребра в 3 цвета так, чтобы из каждой вершины выходило ровно по одному ребру каждого цвета, не делится на 4. Докажите, что в этом графе существует гамильтонов цикл (то есть цикл, проходящий по каждой вершине один раз).

3.

Пусть a, b, c — положительные числа. Докажите неравенство:

4.

Существует ли такой выпуклый 1999-угольник, на сторонах которого (в порядке обхода) лежат соответственно 1, 2, …, 1999 точек с целыми координатами?

5.

Числовая последовательность {x_n} задана условиями: x₁ = a, x_n+1 = (2x_n – 1)² для n ³ 1. Докажите, что в любом интервале (α, β) из отрезка [0, 1] найдется такое a, для которого все члены последовательности, начиная с некоторого равны.