Юниорская лига (8)

1.

На доске написаны два числа 1998 и 1999. Каждую минуту два числа a и b, записанные на доске, заменяются на числа 2/(1/a + 1/b) и (a + b)/2. Найдите произведение чисел на доске через 1999 минут.

2.

Кронциркуль — это инструмент, похожий на циркуль, но на концах его две иголки. Он позволяет только замерять расстояния между двумя произвольными точками и откладывать это расстояние на уже проведенной прямой.

Как с помощью кронциркуля и линейки построить квадрат?

3.

На одной прямой расположены два компьютера и две розетки, к каждой из которых с помощью шнура длиной 1 м подключен один из компьютеров. Докажите, что, не перемещая компьютеры и не заменяя шнуры, можно подключить левый компьютер к левой розетке, а правый — к правой.

4.

Дан параллелограмм ABCD. Вокруг треугольника ABС описана окружность; BE — ее диаметр.

Докажите, что высоты треугольника ACD пересекаются в точке Е.

5.

Докажите, что есть не меньше 1000 способов представить число 1998/1999 в виде суммы нескольких чисел, обратных различным натуральным числам.

6.

Для круглосуточной охраны объекта в течение месяца нужно установить дежурство на посту в две смены: дневную и ночную. Дежурный может отработать или дневную смену или ночную смену или сутки. После этого он должен отдыхать, соответственно, не менее суток, полутора суток и двух с половиной суток. Какое наименьшее количество дежурных потребуется для этого.

7.

Даны числа a, b и с. Разрешается проводить следующие операции: возводить в куб, складывать, вычитать, делить на 2, делить на 3. При этом можно использовать все промежуточные результаты. Как, используя описанные операции, получить произведение abc?

8.

На клетчатом поле 8 × 8 двое по очереди делают ходы. Первый игрок за один ход выставляет не более трех фишек (каждая — черная или белая по желанию игрока) на любые свободные поля. Второй игрок за один ход может переставить одну из стоящих на поле фишек на любое свободное поле. Если в какой-то момент образовались три (или более) фишки одного цвета, идущие подряд (по вертикали, горизонтали или диагонали), они снимаются с доски. Первый выигрывает, если все поля доски оказались заняты. Второй выигрывает, если какая-то позиция повторилась. Кто выиграет при правильной игре?