Первая лига (10)

1.

Даны числа a₁ £ a₂ … £ a_n и e > 0.
Набор чисел b_i, (1 £ i £ n), удовлетворяет неравенству |b_i – a_i| < e.
Докажите, что если c_i — такая перестановка чисел b_i, что c₁ £ c₂ £ … £ c_n, то |с_i – a_i| < e.

2.

Кронциркуль — это инструмент, похожий на циркуль, но на концах его две иголки. Он позволяет только замерять расстояния между двумя произвольными точками и откладывать это расстояние на уже проведенной прямой.

Даны две перпендикулярные прямые. Как с помощью только кронциркуля получить три вершины какого-то равностороннего треугольника?

3.

Все натуральные числа раскрашены в розовый и голубой цвета так, что чисел каждого цвета бесконечно много. Докажите, что существует число, являющееся и суммой двух розовых, и суммой двух голубых.

4.

Семь дровосеков пилят пальмы при помощи двуручных пил. На одну пальму требуется два дровосека и час работы. За какое минимальное время они смогут спилить n пальм, если после каждого часа, работы им требуется часовой перерыв?

5.

Не более 10% жителей некоторой страны — враги народа. На день рождения президента каждый гражданин этой страны сделал ему подарок: написал в ДГБ письмо с разоблачением одного из известных ему врагов народа. При этом известно, что честные граждане разоблачали только истинных врагов, а враги могли как разоблачить других врагов, так и оклеветать честных граждан. Не читая этих доносов, президент приказал посадить всех граждан, на которых поступило не менее, чем 1998 доносов. Верно ли, что более половины посаженных обязательно являются врагами народа?

6.

Пусть f(x) — непрерывная возрастающая функция.
Может ли ее график иметь ровно одну или две общие точки с каждой прямой?

7.

Дан параллелограмм ABCD. Вокруг треугольника ABC описана окружность; BE — ее диаметр. Докажите, что или ÐCDE = ÐCBE или ÐCDE + ÐCBE = 180°.

8.

Сережа занумеровал в произвольном порядке клетки шахматной доски числами от 1 до 64. Затем Дима перебрал всевозможные расстановки 8 не бьющих друг друга ладей на этой доске, для каждой из них посчитал сумму всех чисел под ладьями и выбрал наибольшую из посчитанных сумм. Какое наименьшее значение могла принимать эта сумма.

9.

Даны различные натуральные числа m и n. Докажите, что существует такое вещественное число x, что дробные части чисел mx и nx лежат в промежутке [1/3, 2/3].

10.

Даны числа a, b, c и d. Разрешается проводить следующие операции: возводить в четвертую степень, складывать, вычитать, делить на 2, делить на 3. При этом можно использовать все промежуточные результаты. Как, используя только описанные операции, получить произведение abcd?