Первая лига (10)

1.

Даны числа a₁ £ a₂ … £ a_n и e > 0.
Набор чисел b_i, (1 £ i £ n), удовлетворяет неравенству |b_i – a_i| < e.
Докажите, что если c_i — такая перестановка чисел b_i, что c₁ £ c₂ £ … £ c_n, то |с_i – a_i| < e.

2.

Кронциркуль — это инструмент, похожий на циркуль, но на концах его две иголки. Он позволяет только замерять расстояния между двумя произвольными точками и откладывать это расстояние на уже проведенной прямой.

Даны две перпендикулярные прямые. Как с помощью только кронциркуля получить три вершины какого-то равностороннего треугольника?

3.

Все натуральные числа раскрашены в розовый и голубой цвета так, что чисел каждого цвета бесконечно много. Докажите, что существует число, являющееся и суммой двух розовых, и суммой двух голубых.

4.

Семь дровосеков пилят пальмы при помощи двуручных пил. На одну пальму требуется два дровосека и час работы. За какое минимальное время они смогут спилить n пальм, если после каждого часа, работы им требуется часовой перерыв?

5.

Не более 10% жителей некоторой страны — враги народа. На день рождения президента каждый гражданин этой страны сделал ему подарок: написал в ДГБ письмо с разоблачением одного из известных ему врагов народа. При этом известно, что честные граждане разоблачали только истинных врагов, а враги могли как разоблачить других врагов, так и оклеветать честных граждан. Не читая этих доносов, президент приказал посадить всех граждан, на которых поступило не менее, чем 1998 доносов. Верно ли, что более половины посаженных обязательно являются врагами народа?