Высшая лига (10)

1.

Докажите, что для любого k существует степень пятерки, k последних цифр десятичной записи которой не содержат нулей.

2.

Даны числа a₁ £ a₂ … £ a_n и e > 0.
Набор чисел b_i, (1 £ i £ n), удовлетворяет неравенству |b_i – a_i| < e.
Докажите, что если c_i — такая перестановка чисел b_i, что c₁ £ c₂ £ … £ c_n, то |с_i – a_i| < e.

3.

Кронциркуль — это инструмент, похожий на циркуль, но на концах его две иголки. Он позволяет только замерять расстояния между двумя произвольными точками и откладывать это расстояние на уже проведенной прямой.

С помощью кронциркуля и линейки опустите перпендикуляр из данной точки на данную прямую.

4.

Вдоль прямой записаны некоторые натуральные числа. Между соседними числами пишут их среднее арифметическое, а сами числа стирают. Верно ли, что после нескольких таких операций либо появится нецелое число, либо все числа станут равными?

5.

Пусть f(x) — непрерывная возрастающая функция.
Может ли ее график иметь ровно одну или две общие точки с каждой прямой?