Высшая лига (10)

1.

Докажите, что для любого k существует степень пятерки, k последних цифр десятичной записи которой не содержат нулей.

2.

Даны числа a₁ £ a₂ … £ a_n и e > 0.
Набор чисел b_i, (1 £ i £ n), удовлетворяет неравенству |b_i – a_i| < e.
Докажите, что если c_i — такая перестановка чисел b_i, что c₁ £ c₂ £ … £ c_n, то |с_i – a_i| < e.

3.

Кронциркуль — это инструмент, похожий на циркуль, но на концах его две иголки. Он позволяет только замерять расстояния между двумя произвольными точками и откладывать это расстояние на уже проведенной прямой.

С помощью кронциркуля и линейки опустите перпендикуляр из данной точки на данную прямую.

4.

Вдоль прямой записаны некоторые натуральные числа. Между соседними числами пишут их среднее арифметическое, а сами числа стирают. Верно ли, что после нескольких таких операций либо появится нецелое число, либо все числа станут равными?

5.

Пусть f(x) — непрерывная возрастающая функция.
Может ли ее график иметь ровно одну или две общие точки с каждой прямой?

6.

Дан правильный многоугольник A₁A₂…A_n и точка O. Точки O₁, O₂, …, O_n — образы точки O при симметрии относительно прямых (A₁A₂), (A₂A₃), …, (A_nA₁), точка H — центр многоугольника.
Докажите, что

7.

У прямоугольного параллелепипеда 1 × 1 × b окрасили одну грань 1 × b и положили его на плоскость этой гранью вниз. Может ли он после 1999 перекатываний оказаться на том же месте, но окрашенной гранью вверх?

8.

Не более 10% жителей некоторой страны — враги народа. Известно, что у каждого гражданина этой страны менее 500 знакомых. На день рождения президента каждый гражданин страны сделал ему подарок: написал в ДГБ письмо с разоблачением одного из знакомых ему врагов народа. При этом известно, что честные граждане разоблачали только истинных врагов, а враги могли как разоблачить других врагов, так и оклеветать честных граждан. Докажите, что на основании полученных данных ДГБ может посадить некоторое количество граждан так, чтобы больше половины посаженных была врагами народа.

9.

Все натуральные числа раскрашены в розовый и голубой цвета так, что чисел каждого цвета бесконечно много. Докажите, что существует число, являющееся и суммой двух розовых, и суммой двух голубых.

10.

На клетчатом поле n × n (n > 3) двое по очереди делают ходы. Первый игрок за один ход выставляет не более трех фишек (каждая — черная или белая по желанию игрока) на любые свободные поля. Второй игрок за один ход может переставить одну из стоящих на поле фишек на любое свободное поле. Если в какой-то момент образовались три (или более) фишки одного цвета, идущие подряд (по вертикали, горизонтали или диагонали), они снимаются с доски. Первый выигрывает, если все поля доски оказались заняты. Второй выигрывает, если какая-то позиция повторилась. Кто выиграет при правильной игре?