Юниорская лига (8)

1.

Между волейбольными командами двух стран был проведен матч-турнир, в котором каждая команда сыграла ровно по одному разу со всеми командами другой страны. При этом каждая команда выиграла хотя бы одну встречу. Докажите, что найдутся четыре команды A, B, C и D такие, что A выиграла у B, B выиграла у C, С выиграла у D, а D выиграла у A. (Ничьих в волейболе не бывает)

2.

Имеется 6 одинаковых по виду гирек с массой 1, 2, 3, 4, 5, 6 граммов. На гирьках сделали надписи "1", "2", "3", "4", "5", "6". Можно ли за 2 взвешивания на чашечных весах без гирь проверить, что надписи сделаны без ошибок?

3.

На плоскости дан равносторонний треугольник и точка внутри него. Эту точку несколько раз последовательно отражают относительно прямых, содержащих стороны треугольника, причем в конце точка вновь оказывается внутри треугольника. Докажите, что она попадет на исходное место.

4.

Дан параллелограмм ABCD. Окружность с центром O, описанная вокруг треугольника ABD, вторично пересекает прямые BC и CD в точках E и F соответственно. Докажите, что луч AO делит угол EAF пополам.

5.

В треугольнике ABC проведена медиана AK, а в треугольниках AKB и AKC провели биссектрисы KL и KM. Докажите, что прямые LM и BC параллельны.

6.

Найдется ли 8 натуральных чисел таких, что никакое из них не делится ни на какое другое, однако НОК любых двух из них равен одному и тому же числу?

7.

В кубике покрашено n ребер, но неизвестно какие. При каком наименьшем n можно гарантировать, что найдется грань с четырьмя окрашенными ребрами?

8.

По окружности расставлены целые числа, причем квадрат любого числа является делителем суммы квадратов соседей. Докажите, что все числа равны.