Высшая лига (10)

1.

Все члены двух различных арифметической прогрессий — натуральные числа. Числа первой прогрессии выписали подряд без пробелов, получив бесконечную последовательность цифр. То же сделали со второй прогрессией. Докажите, что две получившиеся последовательности цифр различны.

2.

Между волейбольными командами двух стран был проведен матч-турнир, в котором каждая команда сыграла ровно по одному разу со всеми командами другой страны. При этом каждая команда выиграла хотя бы одну встречу. Докажите, что найдутся четыре команды A, B, C и D такие, что A выиграла у B, B выиграла у C, С выиграла у D, а D выиграла у A. (Ничьих в волейболе не бывает)

3.

В какое наименьшее число цветов можно раскрасить шахматную доску 100 × 100 так, чтобы каждая клетка граничила по стороне с клеткой другого цвета, и между любыми двумя клетками одного цвета ладья могла пройти по клеткам того же цвета (не перепрыгивая через другой цвет)?

4.

Пятизначное число с суммой цифр 37 делится на 37. Докажите, что его третья цифра — 9.

5.

Есть многочлен третьей степени
P(x) = x³ + ax² + bx + c.
Известно, что если x — целое, то P(x) — куб целого числа.

Докажите, что P(x) º (x + d)³ при некотором d.

6.

Всякий ли параллелепипед имеет в сечении прямоугольник?

7.

Каждая грань куба со стороной 3 разбита на клетки 1 × 1. Поверхность куба удалось оклеить семнадцатью бумажными полосками 3 × 1 и одним уголком так, что каждая полоска и уголок закрыли по 3 целые клетки (возможно, с перегибанием через ребро). Найти все возможные расположения уголка.

8.

На прямой отмечены два отрезка так, что ни один не содержится в другом. Найдите геометрическое место точек, лежащих на плоскости вне прямой, из которых эти отрезки видны под равными углами.

9.

Двое играющих по очереди ломают палку: первый на 2 части, затем второй ломает любой из кусков на 2 части, затем первый — любой из кусков на 2 части, и так далее. Первый выигрывает, если сможет после какого-то из своих ходов сложить из 6 кусков два равных треугольника. Может ли второй ему помешать?

10.

Решить уравнение (x² + 100)² + (x³ + 100)³ = 0.