Задачи для сеньоров (8)

1.

Среди некоторых 13 последовательных натуральных чисел семь четных и пять кратных трем. Сколько среди них чисел, кратных 6?

2.

Рыбаки ловили рыбу два дня. В первый день каждый рыбак поймал столько рыб, сколько все остальные вместе во второй день. Докажите, что все рыбаки поймали поровну рыб.

3.

Существует ли непрерывная функция, график которой пересекается с любой прямой на плоскости?

4.

Дан параллелограмм ABCD. Проводятся 3 окружности: одна — с центром в точке B и радиусом BA, вторая — с центром в точке D и радиусом DA, третья — описанная около треугольника BCD.
Докажите, что существует точка, через которую проходят все три окружности.

5.

Может ли отношение двух чисел Фибоначчи быть равным 100?

6.

Доска 1999 × 1999 раскрашена в шахматном порядке. За ход разрешается перекрасить в противоположный цвет каждую клетку произвольного прямоугольника, образованного клетками доски. За какое наименьшее количество ходов можно сделать доску одноцветной?

7.

Период десятичной записи обыкновенной дроби имеет длину n. Каков наибольший возможный период квадрата этой дроби?

8.

Два игрока по очереди проводят диагонали в правильном 1999-угольнике. После каждого своего хода игрок платит противнику число рублей равное количеству пересеченных диагоналей. Кто из игроков может получить больше денег независимо от игры противника?