Призовые задачи (20)

11.

Найдите все натуральные числа n такие, что (n – 1)! не делится на n².

12.

В циферблат часов добавили стрелку, которая в любой момент времени образует равные углы с часовой и минутной стрелками (идет по биссектрисе угла). Сколько полных оборотов делает эта стрелка в течение суток?

13.

На потолке комнаты сидит муха. Расстояние от нее до трех из четырех нижних углов комнаты равно 3м, 4м и 5м. Чему равно расстояние от мухи до четвертого нижнего угла, если известно, что оно больше всех остальных?

14.

Назовем натуральное число хорошим, если оно представимо в виде суммы двух трехзначных чисел , (a и с не равны 0). Сколько существует хороших чисел?

15.

Сколько корней имеет уравнение sinx = x/31?

16.

В турнире каждый шахматист, не занявший одно из трех последних мест, половину своих очков набрал во встречах с участниками, занявшими три последних места. (Занявший третье место с конца набрал очков меньше, чем четвертый с конца). Сколько человек приняло участие в турнире?

17.

Решите систему уравнений
.

18.

Отрезок АВ параллелен каждому из диаметров полукругов, расположенных так, как показано на рисунке, касается меньшего полукруга и равен 10см.

Чему равна площадь заштрихованной части фигуры?

19.

Сколькими способами можно представить число 100 в виде суммы трех натуральных слагаемых (представления, отличающиеся только порядком слагаемых, считаются одинаковыми)?

20.

Найдите все четырехзначные числа, всякая натуральная степень которых оканчивается на 4 цифры, составляющие исходное число.