Призовые задачи (20)

1.

Завершите заполнение квадрата буквами Т, А, Б, У, Н так, чтобы в каждой строке, каждом столбце и каждой из двух диагоналей квадрата эти буквы встречались по одному разу.

2.

От трехзначного числа отняли сумму кубов его цифр. Какой наибольший результат мог при этом получиться?

3.

AH и CP — высоты треугольника АВС. Какой может быть величина угла В, если известно, что АС = 2НР?

4.

Обозначим через S(n) сумму цифр числа n. Найдите наименьшее натуральное число n, для которого S(S(n)) = 1999.

5.

Сколько различных целочисленных решений имеет неравенство |x| + |y| < 1999?

6.

В стаде 10 коров. Первая может съесть стог сена за 1 день, вторая — за 2 дня, третья — за 3 дня, …, десятая — за 10 дней.
Кто быстрее съест этот стог — первые две коровы вместе или остальные восемь?

7.

В однокруговом волейбольном турнире (без ничьих) участвовало 23 команды.
Три команды А, В, С образуют циклическую тройку, если А выиграла у В, В — у С, С — у А.
Каково наибольшее возможное количество циклических троек?

8.

Решите в натуральных числах уравнение
3 × 2^х = y² – 1.

9.

Банкир Петя ежедневно выходит из дома на работу в 8 утра, на улице его встречает автомобиль и отвозит на работу. Однажды он вышел из дома раньше и пошел навстречу машине. Благодаря этому Петя приехал на работу на 20 минут раньше, чем обычно. Определите, в какое время Петя сел в этот день в автомобиль?

10.

Дан квадрат со стороной 1. Найдите геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний которых до сторон квадрата или его продолжений равна 4.

11.

Найдите все натуральные числа n такие, что (n – 1)! не делится на n².

12.

В циферблат часов добавили стрелку, которая в любой момент времени образует равные углы с часовой и минутной стрелками (идет по биссектрисе угла). Сколько полных оборотов делает эта стрелка в течение суток?

13.

На потолке комнаты сидит муха. Расстояние от нее до трех из четырех нижних углов комнаты равно 3м, 4м и 5м. Чему равно расстояние от мухи до четвертого нижнего угла, если известно, что оно больше всех остальных?

14.

Назовем натуральное число хорошим, если оно представимо в виде суммы двух трехзначных чисел , (a и с не равны 0). Сколько существует хороших чисел?

15.

Сколько корней имеет уравнение sinx = x/31?

16.

В турнире каждый шахматист, не занявший одно из трех последних мест, половину своих очков набрал во встречах с участниками, занявшими три последних места. (Занявший третье место с конца набрал очков меньше, чем четвертый с конца). Сколько человек приняло участие в турнире?

17.

Решите систему уравнений
.

18.

Отрезок АВ параллелен каждому из диаметров полукругов, расположенных так, как показано на рисунке, касается меньшего полукруга и равен 10см.

Чему равна площадь заштрихованной части фигуры?

19.

Сколькими способами можно представить число 100 в виде суммы трех натуральных слагаемых (представления, отличающиеся только порядком слагаемых, считаются одинаковыми)?

20.

Найдите все четырехзначные числа, всякая натуральная степень которых оканчивается на 4 цифры, составляющие исходное число.