Весна 2001 года (25)

1.

Как от куска шнура длиной 2/3 метра отрезать ровно полметра, не имея измерительного инструмента? Ответ пояснить.

2.

На озере цветет одна лилия. Каждый день число цветков удваивается, а на 20-й день все озеро покрылось цветками. На который день покрылась цветами половина озера?

3.

Девочка заменила в своем имени каждую букву ее номером в русском алфавите и получила число 2011533. Как ее зовут? Ответ пояснить.

4.

Имеется три сосуда без делений объемами 4л, 5л и 6л, кран с водой, раковина и 4л сиропа в самом маленьком сосуде. Можно ли с помощью переливаний получить 8л смеси воды с сиропом так, чтобы в каждом сосуде воды и сиропа было поровну.

5.

На 20 карточках написаны натуральные числа от 1 до 20. Из этих карточек составили 10 дробей. Какое наибольшее число этих дробей может иметь целые значения? (Указать количество дробей и доказать, что большее количество получить нельзя.)

6.

Офеня купил на оптовом рынке партию ручек и предлагает покупателям либо одну ручку за 5 рублей, либо три ручки за 10 рублей. Офеня от каждого покупателя получает одинаковую прибыль. Какова оптовая цена ручки?

7.

Из кубика Рубика 3 × 3 × 3 удалили центральный кубик и восемь угловых кубиков. Можно ли оставшуюся фигуру из 18 маленьких кубиков составить из шести брусков размером 3 × 1 × 1?

8.

В записи 9, *, *, *, *, *, *, 7 замените звездочки числами так, чтобы сумма любых трех подряд стоящих чисел была равна 20.

9.

Три путешественника остановились на ночлег, имея мешок сухарей. Ночью один съел 1/3 всех сухарей, второй — 1/3 от того, что осталось, третий — 1/3 от оставшихся. Осталось 8 сухарей. Сколько сухарей было первоначально?

10.

Инопланетянин со звезды Тау Кита, прилетев на Землю в понедельник, воскликнул «А!». Во вторник он воскликнул «АУ!», в среду — «АУУА!», в четверг — «АУУАУААУ!». Что он воскликнет в субботу?

11.

Найдите все пятизначные числа, обладающие следующим свойством: каждая цифра числа больше суммы цифр, стоящих правее нее (первая цифра больше суммы 2, 3, 4, и 5-ой цифр, вторая цифра больше суммы 3, 4 и 5-ой цифр и т.д.)

12.

Для нумерации страниц книги потребовалось 2322 цифры. Сколько страниц содержит книга?

13.

Петя проснулся в восьмом часу утра и заметил, что часовая стрелка его будильника делит пополам угол между минутной стрелкой и стрелкой звонка, показывающей на цифру 8. Через какое время должен прозвенеть звонок?

14.

Имеются купюры достоинством в 3 и 5 рублей.

а) Сколькими способами с помощью этих купюр можно разменять 15 рублей?

б) Докажите, что n рублей разменивается меньшим числом способов, чем n + 15 рублей. (n — любое натурально число, большее 7.)

15.

Есть ровно четыре способа разменять А рублей, имея только купюры в 3 и 5 рублей. Чему может быть равно А? (Укажите все варианты и докажите, что других нет.)

16.

Автобусный билет считается счастливым, если между всеми его цифрами можно расставить знаки четырех арифметических действий и скобки так, чтобы значение полученного выражения равнялось 100. Является ли счастливым билет № 123456?

17.

В магазин привезли 223 литра молока в бидонах по 10 и 17 литров. Сколько было бидонов?

18.

У Коли на дне рождения было 5 друзей. Первому он отрезал 1/6 часть пирога, второму — 1/5 остатка, третьему — 1/4 того, что осталось, четвертому — 1/3 нового остатка. Последний кусок Коля разделил пополам с пятым другом. Кому достался самый большой кусок?

19.

Наташа и Инна купили по одинаковой коробке чая в пакетиках. Известно, что одного пакетика хватает на две или на три чашки чая. Наташа использовала всю коробку, выпив 41 чашку чая, а Инна — выпив 58 чашек. Сколько пакетиков было в коробке?

20.

Может ли горящая в комнате свеча не освещать полностью ни одну из ее шести стен, если свет распространяется прямолинейно? Ответ пояснить.

21.

Сколькими способами можно разрезать фигуру, изображенную на рисунке, на 6 равных частей, делая разрезы по линиям сетки?

22.

Можно ли вместо звездочек вставить нечетные цифры так, чтобы равенство стало верным?

23.

На двух параллельных прямых расположены точки: на одной — 4, на второй — 9.

Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках?

24.

а) Укажите два последовательных натуральных числа, сумма цифр каждого из которых делится на 17.

б) Найдите наименьшее натуральное число, сумма цифр которого делится на 17, и сумма цифр следующего за ним числа тоже делится на 17. Укажите число и докажите, что меньшего числа нет.

25.

Из одного числа можно получать другое по следующему закону: сумму цифр числа умножать на 2. Например, из числа 2 можно получить последовательность: 2, 4, 8, 16, 14, 10, 2.

а) Найдите все натуральные числа, переходящие сами в себя по этому закону.

б) Докажите, что число 2²⁰⁰¹ после нескольких переходов по этому закону станет однозначным.