358
470
всего разделов:
активных пользователей:
30 мартра 2005
Форумы снова функционируют.
21 декабря 2004
Видимо в связи с обнаруженными дырами в phpBB, форум был взломан, а через него взломано и всё остальное содержимое ceemat.ru. Всё кроме форума восстановлено, ведется дискуссия по поводу его сохранения.
Приносим извинения за неудобства.
29 сентября 2004
Форум обновился до версии 2.0.10
15 мая 2004
Новый раздел: "Программирование"
16 апреля 2004 года
Задачи Ярославского турнира математических боев — 124 задачи с решениями.
29 марта 2004
Таллинская викторина: занимательные вопросы и задачи для увлеченных химией.
Весна 2001 года (25)
Из одного числа можно получать другое по следующему закону: сумму цифр числа умножать на 2. Например, из числа 2 можно получить последовательность: 2, 4, 8, 16, 14, 10, 2. а) Найдите все натуральные числа, переходящие сами в себя по этому закону. б) Докажите, что число 22001 после нескольких переходов по этому закону станет однозначным. |
а) Ответ: 18. Если число переходит само в себя, то оно в 2 раза больше суммы своих цифр. Однозначных чисел, больших нуля (нуль — число не натуральное), с требуемым свойством нет. Рассмотрим двузначные числа. Если первая цифра числа равна a, а вторая — b, то само число равно 10a + b. По условию задачи имеем: 10a + b = 2(a + b), то есть 8a = b. Из этого равенства следует, что b кратно 8, а поскольку b — это цифра, то b = 8, а значит a = 1. Таким образом, число, переходящее в себя — 18. Покажем, что других решений нет. Самое маленькое трехзначное число 100, а самая большая удвоенная сумма цифр трехзначного числа 2(9 + 9 + 9) = 54, что меньше любого трехзначного числа. Аналогично для трехзначных и других больших чисел. б) Если число не меньше, чем трехзначное, то его удвоенная сумма цифр меньше самого числа. Значит, число будет уменьшаться, пока не станет двузначным или однозначным. Остается единственная опасность: попасть в «неподвижную точку» — число 18. Но это в нашем случае невозможно, так как исходное число 22001 не делится на 3, а 18 делится на 3. (По признаку делимости на 3: если число делится на 3, то сумма его цифр делится на 3, и удвоенная сумма цифр тоже делится на 3. Значит из исходного числа, не делящегося на 3, мы можем получать только числа, не делящиеся на 3.) |
8 Февраля 2004 20:39 Раздел каталога :: Ссылка на задачу
|