Осень 2000 года (25)

11.

Натуральное число кратно 11.
Может ли оно иметь сумму цифр, равную 111?

12.

С одной стороны дороги росли в ряд несколько деревьев. Однажды весной между каждыми двумя соседними деревьями посадили еще по одному дереву. Следующей весной это проделали снова, а еще через год — в третий раз. Ни одно дерево за это время не погибло. Могло ли в итоге общее число деревьев стать равным 1999?

13.

Можно ли расставить на клетчатой доске 16 × 16 полный комплект для игры в “Морской бой” (1 кораблик 1 × 4, 2 кораблика 1 × 3, 3 кораблика 1 × 2 и 4 кораблика 1 × 1) так, чтобы в каждой вертикали и в каждой горизонтали хотя бы одна клетка была занята?

14.

Докажите, что квадрат нельзя разрезать на
а) 2 квадрата;
б) 3 квадрата;
в) 5 квадратов.

15.

Разрежьте квадрат на
а) 6 квадратов;
б) 7 квадратов;
в) 8 квадратов.
г) На какое количество квадратов можно разрезать квадрат?

16.

В классе число отсутствующих учеников составляет 1/6 часть от числа присутствующих. После того, как из класса вышел один ученик, число отсутствующих стало равно 1/5 числа присутствующих. Сколько всего учеников в классе?

17.

Цифры семизначного числа А записали в обратном порядке и получили число В. Может ли число, равное сумме А и В, состоять только из нечетных цифр?

18.

Предположим, что сейчас угол между часовой и минутной стрелкой такой же, каким он был два часа назад. Чему равен этот угол?

19.

Найти все двузначные натуральные числа, которые в пять раз больше суммы своих цифр?

20.

Можно ли квадрат со стороной 20 см разрезать на 10 попарно неравных квадратов (то есть все квадраты различны), длины сторон которых выражаются целым числом сантиметров?