Осень 2000 года (25)

1.

На доске написано число 458. За один ход можно либо удвоить имеющееся число, либо стереть последнюю цифру. Как за несколько ходов получить число 14?

2.

Сколькими способами можно представить число 50 в виде суммы двух четных положительных чисел? (Представления считаются совпадающими, если они различаются лишь порядком слагаемых.)

3.

Цена картофеля повысилась на 20%. Через некоторое время цена понизилась на 20%. Когда картофель стоил дешевле: до повышения или после снижения? Ответ поясните.

4.

Используя семь двоек и знаки математических действий, несложно получить выражение, значение которого равно 2000: 2222 – 222. Можно ли, используя шесть пятерок, знаки математических действий: «+», «–», «×», «:» и скобки, получить выражение, значение которого равно 2000?

5.

Можно ли написать на гранях кубика числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 (каждое число встречается один раз) так, чтобы числа на соседних гранях отличались не более чем на 2?

6.

В примере 123 × 567 + 29259 = 99 потерялись десятичные запятые в записи чисел. Как могли стоять запятые?

7.

Три мыши за 2 часа растаскивают по своим норам три мешка зерна. Сколько растаскивают мешков шесть мышей за 5 часов?

8.

Можно ли буквы Р, О, Б заменить цифрами (причем одинаковые буквы равными цифрами, а разные — неравными), чтобы число БОР было больше числа ОРБ, число ОРБ было больше числа РОБ, а число РОБ — больше числа БРО?

9.

Есть три человека А, В и С, про которых известно, что один из них рыцарь (всегда говорит правду), другой — лжец (всегда врет), а третий — нормальный человек, который может и говорить правду и лгать.

А говорит: “Я нормальный человек”.
В говорит: ”А и С иногда говорят правду”.
С говорит: “В — нормальный человек”.

Кто из них лжец,  кто — рыцарь, а кто — нормальный человек? Ответ поясните.

10.

Прямоугольник на рисунке составлен из квадратов. Найти длину стороны самого большого квадрата, если длина стороны самого маленького равна 1.

11.

Натуральное число кратно 11.
Может ли оно иметь сумму цифр, равную 111?

12.

С одной стороны дороги росли в ряд несколько деревьев. Однажды весной между каждыми двумя соседними деревьями посадили еще по одному дереву. Следующей весной это проделали снова, а еще через год — в третий раз. Ни одно дерево за это время не погибло. Могло ли в итоге общее число деревьев стать равным 1999?

13.

Можно ли расставить на клетчатой доске 16 × 16 полный комплект для игры в “Морской бой” (1 кораблик 1 × 4, 2 кораблика 1 × 3, 3 кораблика 1 × 2 и 4 кораблика 1 × 1) так, чтобы в каждой вертикали и в каждой горизонтали хотя бы одна клетка была занята?

14.

Докажите, что квадрат нельзя разрезать на
а) 2 квадрата;
б) 3 квадрата;
в) 5 квадратов.

15.

Разрежьте квадрат на
а) 6 квадратов;
б) 7 квадратов;
в) 8 квадратов.
г) На какое количество квадратов можно разрезать квадрат?

16.

В классе число отсутствующих учеников составляет 1/6 часть от числа присутствующих. После того, как из класса вышел один ученик, число отсутствующих стало равно 1/5 числа присутствующих. Сколько всего учеников в классе?

17.

Цифры семизначного числа А записали в обратном порядке и получили число В. Может ли число, равное сумме А и В, состоять только из нечетных цифр?

18.

Предположим, что сейчас угол между часовой и минутной стрелкой такой же, каким он был два часа назад. Чему равен этот угол?

19.

Найти все двузначные натуральные числа, которые в пять раз больше суммы своих цифр?

20.

Можно ли квадрат со стороной 20 см разрезать на 10 попарно неравных квадратов (то есть все квадраты различны), длины сторон которых выражаются целым числом сантиметров?

21.

Два мудреца написали на семи карточках числа от 5 до 11. После этого они перемешали карточки. Первый мудрец взял себе три карточки, второй — две, а оставшиеся они не глядя убрали в мешок. Изучив свои карточки, первый мудрец сказал второму: «Я знаю, что сумма чисел на твоих карточках четна!»

а) Приведите набор чисел, которые могли быть на карточках первого мудреца.

б) Докажите, что другого набора быть не может.

22.

Дан числовой ребус УДАР + УДАР = ДРАКА. Одинаковые буквы соответствуют одинаковым цифрам, а разные — разным.

а) Найти одно решение ребуса.

б) Найти все решения этого ребуса и доказать, что других решений нет.

23.

Дан кубик 1 × 1 × 1. Можно ли его оклеить полоской 1 × 12 в два слоя без разрывов?

24.

Пол в душевой комнате площадью 41 м² устлан тремя одинаковыми коврами, каждый площадью 19 м². Любые два ковра пересекаются по площади 7 м². Сколько квадратных метров комнаты покрыты всеми тремя коврами?

25.

В кружочки расставляют числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 так, чтобы суммы чисел, стоящих на одной прямой, были равны (в каждой сумме по три числа).
а) Найти одну такую расстановку.
б) Найти все значения, которые может принимать сумма.
в) Сколькими способами можно расставить числа в кружочки, чтобы суммы были равны? (способы считаются разными, если внешне картинки выглядят по-разному)?