6. Вписанный угол и подобные треугольники (11)

6.

Задача 2.56

На сторонах BC и CD квадрата ABCD взяты точки E и F так, что РEAF = 45°. Отрезки AE и AF пересекают диагональ BD в точках P и Q. Докажите, что S_AEF / S_APQ = 2.

7.

Задача 2.57

Прямая, проходящая через вершину C равнобедренного треугольника ABC, пересекает основание AB в точке M, а описанную окружность в точке N. Докажите, что CM · CN = AC² и CM/CN = AM · BM / (AN · BN).

8.

Задача 2.58

Дан параллелограмм ABCD с острым углом при вершине A. На лучах AB и CB отмечены точки H и K соответственно так, что CH = BC и AK = AB. Докажите, что:

а) DH = DK;

б) DDKH ~ DABK.

9.

Задача 2.59

а) Стороны угла с вершиной C касаются окружности в точках A и B. Из точки P, лежащей на окружности, опущены перпендикуляры PA₁,PB₁ и PC₁ на прямые BC,CA и AB. Докажите, что PC₁² = PA₁ · PB₁ и PA₁ : PB₁ = PA² : PB².

б) Из произвольной точки O вписанной окружности треугольника ABC опущены перпендикуляры OAў,OBў,OCў на стороны треугольника ABC и перпендикуляры OAўў,OBўў,OCўў на стороны треугольника с вершинами в точках касания. Докажите, что OAў · OBў · OCў = OAўў · OBўў · OCўў.

10.

Задача 2.60

Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Расстояния от точки E до прямых AB,BC и CD равны a,b и c соответственно. Найдите расстояние от точки E до прямой AD.