М801 - М820 (20)

11.

M811

Пусть h_a, h_b, h_c — высоты, а m_a, m_b, m_c — медианы остроугольного треугольника (проведенные к сторонам а, b, с), r и R радиусы вписанной и описанной окружностей.

Докажите, что

.

12.

M812

Докажите, что при любом натуральном n
.

13.

M813

Даны отрезки OА, OB, OС одинаковой длины (точка B лежит внутри угла АОС). На них как на диаметрах построены окружности.
Докажите, что площадь криволинейного треугольника, ограниченного дугами этих окружностей и не содержащего точку O (показано на рисунке), равна половине площади (обычного) треугольника ABC.

14.

M814

Отметим в натуральном ряду числа, которые можно представить в виде суммы двух квадратов натуральных чисел. Среди отмеченных чисел встречаются тройки последовательных чисел, например 72 = 6² + 6², 73 = 8² + 3², 74 = 7² + 5².

а) Объясните, почему не могут встретиться четыре последовательных отмеченных числа.

Докажите, что среди отмеченных чисел встретится бесконечно много

б) пар, в) троек последовательных чисел.

15.

M815*

На окружности расставлены 4k точек, занумерованных в произвольном порядке числами 1, 2, ..., 4k.

а) Докажите, что эти точки можно соединить 2k попарно пересекающимися отрезками так, что разность чисел в концах каждого отрезка не превосходит 3k - 1.

б) Постройте пример расстановки номеров, показывающий, что число 3k - 1 в пункте а) нельзя заменить меньшим.