М801 - М820 (20)

1.

M801*

Докажите, что для любого натурального n выполнено равенство

([x] обозначает целую часть числа x).

2.

M802

На сторонах AВ и AС треугольника AВС как на гипотенузах построены вне его прямоугольные треугольники AРВ и BQС с одинаковыми углами величины β при их общей вершине B (показано на рисунке). Найдите углы треугольника PQK, где K — середина стороны AС.

3.

M803

Сумма двух рациональных чисел x и y — натуральное число, сумма обратных к ним чисел 1/х и 1/y — тоже натуральное число. Какими могут быть x и y?

4.

M804

Точка O — середина оси прямого кругового цилиндра, A и B — диаметрально противоположные точки окружности нижнего основания цилиндра, С — некоторая точка окружности верхнего основания, не лежащая в плоскости OАВ. Докажите, что сумма двугранных углов трехгранного угла OАВС (с вершиной O) равна 2π.

5.

M805*

а) На сторонах BС, СА, AВ треугольника AВС выбраны соответственно точки A₁, В₁, C₁ так, что отрезки AA₁, BВ₁ и CC₁ пересекаются в одной точке. Докажите, что S_A1B1C1 £ S_ABC / 4.

б) На гранях BCD, CDA, BDA, ABC тетраэдра ABCD выбраны соответственно точки A₁, В₁, C₁, D₁ так, что отрезки AA₁, BВ₁, CC₁, DD₁, пересекаются в одной точке. Докажите, что V_A1B1C1D1 £ V_ABCD / 27.

6.

M806

a) Докажите, что если
,
то многочлен a_nxⁿ-1+a_n-1xⁿ-2+...+a₂x+a₁ имеет корень между 0 и 1.

б) Докажите, что если для некоторого p > 0
,
то этот многочлен также имеет корень между 0 и 1.

7.

M807

a) Из произвольной точки M внутри равностороннего треугольника опущены перпендикуляры MK₁, MK₂, MK₃ на его стороны.
Докажите, что сумма векторов
, где O — центр треугольника.

б) Из произвольной точки M опущены перпендикуляры MK₁, MK₂, ..., MK_n на все стороны правильного n-угольника (или их продолжения).
Докажите, что
,
где O — центр n-угольника.

в) Из произвольной точки M внутри правильного тетраэдра опущены перпендикуляры MK₁, MK₂, MK₃, MK₄ на его грани.
Докажите, что
,
где О — центр тетраэдра.

8.

M808

На бесконечном листе клетчатой бумаги двое играют в такую игру: первый окрашивает какую-нибудь клетку в красный цвет, второй — k (неокрашенных) клеток в синий цвет, затем снова первый одну (неокрашенную) — в красный, второй — k клеток — в синий и.т.д. Первый стремится к тому, чтобы четыре какие-нибудь красные клетки расположились в вершинах квадрата (со сторонами, параллельными линиям сетки).
Сможет ли второй ему помешать
а) при k = 1;
б)* при k = 2;
в)* при каком-либо k > 1?

9.

M809

Найдите сумму .

10.

M810*

Докажите, что в любой выпуклый многоугольник М можно поместить прямоугольник, площадь которого не меньше 1/4 площади многоугольника М.

11.

M811

Пусть h_a, h_b, h_c — высоты, а m_a, m_b, m_c — медианы остроугольного треугольника (проведенные к сторонам а, b, с), r и R радиусы вписанной и описанной окружностей.

Докажите, что

.

12.

M812

Докажите, что при любом натуральном n
.

13.

M813

Даны отрезки OА, OB, OС одинаковой длины (точка B лежит внутри угла АОС). На них как на диаметрах построены окружности.
Докажите, что площадь криволинейного треугольника, ограниченного дугами этих окружностей и не содержащего точку O (показано на рисунке), равна половине площади (обычного) треугольника ABC.

14.

M814

Отметим в натуральном ряду числа, которые можно представить в виде суммы двух квадратов натуральных чисел. Среди отмеченных чисел встречаются тройки последовательных чисел, например 72 = 6² + 6², 73 = 8² + 3², 74 = 7² + 5².

а) Объясните, почему не могут встретиться четыре последовательных отмеченных числа.

Докажите, что среди отмеченных чисел встретится бесконечно много

б) пар, в) троек последовательных чисел.

15.

M815*

На окружности расставлены 4k точек, занумерованных в произвольном порядке числами 1, 2, ..., 4k.

а) Докажите, что эти точки можно соединить 2k попарно пересекающимися отрезками так, что разность чисел в концах каждого отрезка не превосходит 3k - 1.

б) Постройте пример расстановки номеров, показывающий, что число 3k - 1 в пункте а) нельзя заменить меньшим.

16.

M816

Натуральные числа a и b получаются друг из друга перестановкой цифр. Докажите, что
а) суммы цифр чисел 2a и 2b равны;
б) суммы цифр чисел a/2 и b/2 равны (если а и b четные);
в) суммы цифр чисел 5a и 5b равны.

17.

M817

Точка K лежит на стороне BС треугольника AВС. Докажите, что соотношение

AK² = AB × AC - KB × KC

выполнено тогда и только тогда, когда AB = AC или ÐBАK = ÐСАK.

18.

M818

Пусть какие-то k вершин правильного n-угольника белые (остальные вершины — черные). Будем называть множество белых вершин равномерным, если при любом m количества белых вершин в любых двух наборах из m последовательных вершин n-угольника совпадают или отличаются на 1 (см. рисунок, где приведен пример равномерного множества для n = 8, k = 5).

а) Постройте равномерные множества для n = 12, k = 5;
n = 17, k = 7.

Докажите, что равномерное множество существует и единственно (с точностью до поворотов n-угольника),

б) если n делится на k;

в)* для любых n и k (k £ n).

19.

M819

В Швамбрании n городов, каждые два из которых соединены дорогой. (Дороги сходятся лишь в городах, все пересечения организованы в разных уровнях.) Злой волшебник намеревается установить на каждой дороге одностороннее движение так, что выехав из любого города, в него уже нельзя будет вернуться. Докажите, что

а) волшебник может это сделать;

б) при этом найдется город, из которого можно добраться до всех других, и найдется город, из которого нельзя выехать;

в) существует n! = 1 × 2 × ... × n способов осуществить намерение злого волшебника.

20.

M820*

а) Правильный восьмиугольник разрезан на конечное число параллелограммов.
Докажите, что среди них есть хотя бы два прямоугольника.

б) Правильный 4k-угольник разрезан на конечное число параллелограммов.
Докажите, что среди них есть хотя бы k прямоугольников.

в) Найдите суммарную площадь прямоугольников из пункта б), если длина стороны 4k-угольника равна 1.