Осень 1999 года (25)

11.

Четырехзначное число таково, что все его цифры различны, а также известно, что числа 5860, 1674, 9432, 3017 содержат ровно по две цифры, принадлежащие этому числу, однако ни одна из них не стоит в том же месте, что и в этом числе. Чему оно может быть равно?

12.

Может ли шахматный конь попасть из левого нижнего угла шахматной доски в правый верхний, побывав на каждом поле ровно по одному разу?

13.

Шестизначное число, первая цифра которого 1, увеличится в 3 раза, если эту первую цифру переставить в конец. Найдите это число и укажите, как его находили.

14.

Какова 1999-ая цифра после запятой в десятичном разложении дроби 1/7 = 0,142857...?

15.

Может ли сумма цифр точного квадрата равняться 2001?

16.

На концах отрезка стоят единицы. На каждом шаге между каждыми двумя соседними числами пишется их сумма. Найдите сумму всех чисел, стоящих на отрезке после 10 шагов.

17.

Пятак обкатывают вокруг неподвижного пятака. Сколько оборотов он сделает к моменту возвращения в исходную точку?

18.

Миша хочет написать 60 различных натуральных двузначных чисел так, чтобы среди них не было двух чисел, дающих в сумме 100. Сможет ли он это сделать?

19.

Можно ли из 1999 одинаковых квадратных плиток составить на плоскости замкнутую цепочку (каждая следующая плитка должна иметь общую сторону с предыдущей и не налегать на нее)?

20.

Даны неравенства x > 1, x < 2, x > 3, x < 4, x > 5, x < 6, x > 7. Какое наибольшее количество из них могут быть одновременно верными?