Осень 1999 года (25)

1.

Как на стол поставить 8 одинаковых кубиков так, чтобы со всех сторон полностью было видно ровно 23 грани кубиков, а остальные грани видны не были?

2.

Можно ли поместить четыре прямоугольника 3 на 1 и квадрат 2 на 2 без наложения внутрь квадрата 4 на 4?

3.

Было два положительных числа. Одно из них увеличили на 1 процент, второе — на 4 процента.

Могла ли их сумма увеличиться на 3 процента?

(Если да, приведите пример, если нет — объясните, почему.)

4.

Над цепью озер летела стая гусей. На каждом озере садилась половина гусей и еще полгуся, а остальные летели дальше. Все гуси сели на 8 озерах.

Сколько гусей было в стае?

5.

В выражении 1 * 1 * 1 * 1 * … * 1 (10 слагаемых) вместо звездочек по-разному расставляют плюсы и минусы. Сколько различных результатов может получиться?

6.

На сколько частей делят пространство 6 плоскостей, содержащие грани куба?

7.

Саша нарисовал прямоугольник. Затем один размер увеличил на 99 см, а другой уменьшил на 1см. Леша утверждает, что при этом площадь прямоугольника должна обязательно увеличиться. Прав ли он?

8.

Двое лыжников начали гонку по хорошей лыжне со скоростью 12 километров в час. Начался трудный участок, на котором скорость упала до 8 километров в час. Когда оба лыжника вошли на этот участок, расстояние между ними оказалось на 300 метров меньше первоначального. Каково расстояние между лыжниками было в начале?

9.

Можно ли разложить гири в 1, 2, 3, …, 21 граммов на две равные по весу кучи?

10.

В записи числа 1234567891011121314151617181920 зачеркните 15 цифр так, чтобы оставшееся число было наибольшим.

Объясните, почему вы получили наибольшее число.

11.

Четырехзначное число таково, что все его цифры различны, а также известно, что числа 5860, 1674, 9432, 3017 содержат ровно по две цифры, принадлежащие этому числу, однако ни одна из них не стоит в том же месте, что и в этом числе. Чему оно может быть равно?

12.

Может ли шахматный конь попасть из левого нижнего угла шахматной доски в правый верхний, побывав на каждом поле ровно по одному разу?

13.

Шестизначное число, первая цифра которого 1, увеличится в 3 раза, если эту первую цифру переставить в конец. Найдите это число и укажите, как его находили.

14.

Какова 1999-ая цифра после запятой в десятичном разложении дроби 1/7 = 0,142857...?

15.

Может ли сумма цифр точного квадрата равняться 2001?

16.

На концах отрезка стоят единицы. На каждом шаге между каждыми двумя соседними числами пишется их сумма. Найдите сумму всех чисел, стоящих на отрезке после 10 шагов.

17.

Пятак обкатывают вокруг неподвижного пятака. Сколько оборотов он сделает к моменту возвращения в исходную точку?

18.

Миша хочет написать 60 различных натуральных двузначных чисел так, чтобы среди них не было двух чисел, дающих в сумме 100. Сможет ли он это сделать?

19.

Можно ли из 1999 одинаковых квадратных плиток составить на плоскости замкнутую цепочку (каждая следующая плитка должна иметь общую сторону с предыдущей и не налегать на нее)?

20.

Даны неравенства x > 1, x < 2, x > 3, x < 4, x > 5, x < 6, x > 7. Какое наибольшее количество из них могут быть одновременно верными?

21.

Перед бригадой поедателей яблок был поставлен месячный (на 30 дней) план по поеданию яблок. Но каждый день бригада поедала на 2 ящика меньше запланированного, в результате чего план был выполнен на 5 дней позже. На сколько дней раньше срока бригада выполнила бы план, если бы ежедневно поедала сверх плана 1 ящик яблок?

22.

В натуральном числе A переставили цифры, получив число B, не равное числу A.

Может ли сумма цифр числа A равняться сумме цифр числа A + B?

23.

Натуральное число назовем горбатым, если в его записи цифры сначала возрастают, а затем с какого-то момента убывают. Сколько 17-значных горбатых чисел?

24.

По круговому треку длиной 500 метров гоняют в разных направлениях два велосипедиста, скорость первого — 21м/сек, скорость второго — 27м/сек. Стартовали они одновременно из одной точки, а финишировали через 20 минут. На каком расстоянии друг от друга точки финиша?

25.

Из 64 одинаковых кубиков составили куб 4 на 4 на 4. За один ход можно вытащить кубик, у которого ровно одна грань не примыкает к оставшимся после сделанных ходов кубикам. Как сделать 16 ходов?