М761 - М780 (20)

1.

M761

Через произвольную точку Р на стороне АС треугольника АВС параллельно его медианам АK и СL проведены прямые, пересекающие стороны ВС и АВ в точках Е и F соответственно (показано на рисунке).

Докажите, что медианы АK и СL делят отрезок ЕF на три одинаковые части.

2.

M762

Докажите, что для любых положительных чисел a, b, c выполнены неравенства

3.

M763*

Дан параллелограмм АВСD, отличный от ромба. Прямая, симметричная прямой АВ относительно диагонали АС, пересекает в точке Q прямую, симметричную прямой DС относительно диагонали DВ (показано на рисунке).

Найдите отношение QA : QD, если известно отношение AC : BD = k.

4.

M764

Докажите, что каждое из уравнений

а) x² + y³ = z⁵;

б) x² + y³ + z⁵ = t⁷

имеет бесконечно много решений в натуральных числах.

5.

M765

Пусть B — конечное множество точек на плоскости, не принадлежащих одной прямой.

а) Докажите, что найдутся три точки множества B такие, что проходящая через них окружность не содержит внутри себя других точек множества B.

б)* Назовем триангуляцией множества B семейство треугольников с множеством вершин B, не налегающих друг на друга и в объединении дающих выпуклый многоугольник (триангуляцию множества B можно получить, соединяя его точки непересекающимися отрезками, пока это возможно). Докажите, что для любого B существует такая триангуляция, что окружность, описанная около любого треугольника этой триангуляции, не содержит внутри себя точек множества B. Укажите способ построения такой триангуляции.

в)* Докажите, что если никакие четыре точки множества B не лежат на одной окружности, то описанная в пункте б) триангуляция единственна.

6.

M766

Докажите, что сумма квадратов трех последовательных целых чисел не может быть кубом натурального числа.

7.

M767

а) Прямая l делит площадь выпуклого многоугольника пополам. Докажите, что отношение, в котором эта прямая делит проекцию многоугольника на перпендикулярную к ней прямую, не превосходит 1 +  (показано на рисунке a).

б) Каждая из трех прямых делит площадь данной фигуры пополам. Докажите, что площадь части фигуры, заключенной в треугольнике между тремя прямыми, не превосходит 1/4 всей площади фигуры (показано на рисунке б).

8.

M768*

Сумма n чисел, каждое из которых не превосходит по модулю 1, равно s. Докажите, что из них можно выбрать несколько чисел так, что сумма выбранных чисел будет отличаться от s/3 не более чем на 1/3.

9.

M769*

Биссектрисы треугольника АВС пересекаются в точке L, их продолжения пересекают описанную окружность треугольника в точках A₁, B₁, C₁ (показано на рисунке). Пусть R — радиус описанной, r — радиус вписанной окружности треугольника АВС. Докажите равенства

а) ;

б) ;

в) .

10.

M770*

В основании треугольной пирамиды PABC лежит правильный треугольник АВС. Докажите, что если углы PAB, PBC, PCA равны, то пирамида PABC — правильная.