М721 - М740 (20)

16.

M736

Медиана ВK и биссектриса СL треугольника АВС пересекаются в точке Р. Докажите равенство

.

17.

M737

Обозначим через d_k количество таких домов в вашем городе, в которых живет не меньше k жителей (d₁ ³ d₂ ³d₃ ³...), и через c_m — количество жителей в m-м по величине населения доме (c₁ ³ c₂ ³c₃ ³...). Докажите равенства

а) c₁ + c₂ + c₃ +... = d₁ + d₂ + d₃ +...;

б) c₁² + c₂² + c₃² +... = d₁ + 3d₂ + 5d₃ +...+ (2k - 1)d_k +...;

в) d₁² + d₂² + d₃² +... = c₁ + 3c₂ + 5c₃ +...+ (2k - 1)c_m +...

18.

M738*

Докажите, что

а) количество прямых различных направлений, на которые данный n-угольник дает одинаковые по величине проекции, не превосходит 2n;

б) максимальное число таких прямых для любого многоугольника четно;

в) для треугольника это число больше трех тогда и только тогда, когда треугольник остроугольный.

19.

M739

Докажите,что при любом значении х, для которого левая часть имеет смысл, выполнены равенства

a)

б)
где n — нечетное число, c_n — константа (зависящая от n).

в)* Найдите c_n для каждого нечетного n = 5, 7, ...

20.

M740

Сережа насыпал в цилиндрическую кастрюлю немного пшена и спросил соседку тетю Люду: «Сколько нужно налить воды, чтобы получилась вкусная каша?» — «Это очень просто, — отвечала соседка. — Наклони кастрюлю — вот так; постучи, чтобы крупа пересыпалась и закрыла ровно половину дна. Теперь заметь точку на кастрюле, ближайшую к краю, до которой поднялась крупа — и зажми ее пальцем! До этого уровня и надо налить воду» (показано на рисунке). — «Так ведь пшена можно насыпать побольше и поменьше, да и кастрюли бывают разные — широкие и узкие», — усомнился Сережа. «Все равно, мой способ годится в любом случае!» — гордо ответила тетя Люда.

а) Докажите, что тетя Люда права: отношение объемов воды и пшена по ее рецепту всегда получается одинаковым.

б) Чему равно это отношение?