M701 - M720 (20)

16.

M716

Из точки P внутри данного треугольника АВС опускаются перпендикуляры PA₁, PB₁, PC₁ на прямые ВС, АС и АВ. Для каких точек P внутри треугольника АВС величина

17.

M717

Даны натуральные числа n и r, 1 £ r £ n. Рассмотрим всевозможные подмножества множества {1, 2, ..., n}, состоящие из r чисел, и в каждом выберем наименьшее число. Докажите, что среднее арифметическое всех выбранных чисел равно (n + 1) / (r + 1). (Например, при n = 3, r = 2 получаем три подмножества {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, и среднее арифметическое равно (1 + 1 + 2) / 3 = 4/3.)

18.

M718

Найдите наибольшее значение выражения вида m² + n² для всевозможных пар (m; n) натуральных чисел, таких что 1 £ m £1981, 1 £ n £1981 и ½n² – mn – m²½ = 1.

19.

M719

а) Для каких n ³ З существует множество из n последовательных натуральных чисел, обладающих следующим свойством: наибольшее из этих п чисел является делителем наименьшего общего кратного остальных n - 1 чисел?

б) При каких n ³ З существует единственное множество из n последовательных чисел, обладающих указанным свойством?

20.

M720

Про функцию f, определенную на множестве всех пар неотрицательных целых чисел (x; y), известно следующее:

1) f(0; y) = y + 1,

2) f(x + 1; 0) = f(x; 1),

3) f(x + 1; y + 1) = f(x; f(x + 1; y)) для каждой пары x ³ 0, y ³ 0.

Найдите значение f(4; 1981).