M701 - M720 (20)

11.

M711

Диагонали выпуклого четырехугольника ABCD, вписанного в окружность с центром О, взаимно перпендикулярны. Докажите, что ломаная АОС делит четырехугольник на две части равной площади.

12.

M712

Докажите, что любое положительное число можно представить в виде суммы девяти чисел, десятичные записи которых содержат только цифры от 0 до 7.

13.

M713

M — множество точек на плоскости. Точка O плоскости называется «почти центром симметрии» множества M, если из M можно выбросить одну точку такую, что для оставшегося множества O является центром симметрии в обычном смысле. Сколько «почти центров симметрии» может иметь конечное множество?

14.

M714*

N друзей одновременно узнали N новостей, причем каждый узнал одну новость. Они стали звонить друг другу и обмениваться новостями. За один разговор можно передать сколько угодно новостей. Какое минимальное количество звонков необходимо, чтобы все узнали все новости?

Рассмотрите три случая:

а) N = 64;

б) N = 55;

в) N = 100.

15.

M715*

Прямой угол разбит на клетки (показано на рисунке справа). На некоторых клетках стоят фишки, причем расположение фишек можно преобразовывать так: если для некоторой фишки соседняя сверху и соседняя справа клетки свободны, то в эти клетки ставится по фишке, а старая фишка убирается. Вначале в угловую клетку ставится одна фишка. Можно ли указанными операциями освободить от фишек уголки

а) из трех,
б) из шести,
в) десяти клеток,

показанные на рисунках а—в внизу?