M701 - M720 (20)

6.

M706

Из центра каждой из двух данных окружностей проведены касательные к другой окружности. Докажите, что хорды, соединяющие точки пересечения касательных с окружностями (показано на рисунке), имеют одинаковые длины.

7.

M707

Каждый из учеников класса занимается не более чем в двух кружках, причем для любой пары учеников существует кружок, в котором они занимаются вместе. Докажите, что найдется кружок, где занимаются не менее 2/3 учеников этого класса.

8.

M708

На сторонах выпуклого четырехугольника площадью S вне его построены квадраты, центры которых служат вершинами нового четырехугольника площадью . Докажите, что

а) S₁³2S;

б) S₁=2S в том и только в том случае, когда диагонали исходного четырехугольника равны по длине и взаимно перпендикулярны.

9.

M709*

Пол комнаты, имеющей форму правильного шестиугольника со стороной 10, заполнен плитками, имеющими форму ромба со стороной 1 и острым углом 60°. Разрешается вынуть три плитки, составляющие правильный шестиугольник со стороной 1, и заменить их расположение другим:

Докажите, что

а) из любого расположения плиток такими операциями можно получить любое другое;

б) это можно сделать не более чем за 1000 операций;

в) из расположения плиток нижнего левого рисунка нельзя получить расположение рисунка нижнего правого менее чем за 1000 операций.

10.

M710*

Существует ли последовательность различных натуральных чисел a₁ ,a₂, a₃ ,..., ни один из членов которой не равен сумме нескольких других, такая что (при всех n = 1, 2, ...)

а) a_n £ 2 × (3)^n/2;

б) a_n £ 10 × (1,5)ⁿ;

в) a_n £ n¹⁰;

г) a_n £ 1000n^7/2;

д) a_n £ 1000n^3/2?