10-11 класс (8)

1.

Имеется две группы по n гирь, в каждой из которых гири расположены в порядке возрастания их масс. Докажите, что 2n – 1 взвешиваниями можно расположить и все 2n гирь в порядке возрастания их масс.

2.

В треугольнике ABC сторона AB не равна другим сторонам, медианы AM и BN пересекаются в точке G, а BE и AD — биссектрисы. Докажите, что точки D, E, M и N лежат на одной окружности тогда и только тогда, когда четырехугольник CMGN — описанный.

3.

Внутри куба расположен выпуклый многогранник, проекция которого на каждую из граней куба совпадает с этой гранью. Докажите, что объем этого многогранника не меньше 1/3 объема куба.

4.

В множестве, состоящем из n элементов, выбрано 2^n-1 подмножеств, каждые три из которых имеют общий элемент. Докажите, что все эти подмножества имеют общий элемент.

5.

Назовем число уравновешенным, если в его десятичной записи некоторое начало совпадает с некоторым концом (например, числа 1971, 19219 уравновешенные, а число 1415145 — нет). Докажите, что существует число, которое после приписывания к нему справа любой из десяти цифр становится уравновешенным.

6.

Пусть .
Докажите, что для любых действительных чисел a, b, c выполнено неравенство r(a, c) £ r(a, b) + r(b, c).

7.

Несколько друзей перезванивались в новогоднюю ночь. Каждый поговорил с каждым ровно один раз. Известно, что после полуночи каждому позвонили столько же раз, сколько и до полуночи. При каком числе друзей такое возможно?

8.

Есть куча фишек разных цветов — по 100 фишек каждого цвета, и пустая шахматная доска. Играют двое. Первый выбирает фишку из кучи, второй ставит ее на свободную клетку. Если образуется ряд из 4 или более фишек подряд одного цвета, эти фишки снимаются с доски и больше в игре не участвуют. Если в куче кончились фишки, проиграл первый, если место на доске — второй. При каком наименьшем числе цветов первый может гарантированно выиграть?