6-7 класс (8)

1.

На доске написаны все целые числа от 1 до 14. Двое играющих по очереди стирают по одному числу. Если сумма последних двух чисел — точный квадрат, то выигрывает второй, иначе — первый. Кто выигрывает при правильной игре?

2.

 Петя выписал по кругу в некотором порядке целые числа от 1 до 8 и затем отметил те из них, которые равны сумме двух своих соседей. Какое наибольшее количество чисел могло быть отмечено?

3.

По углам бассейна 10м × 25м стоят Аня, Боря, Вера и Гена, а где-то у края бассейна стоит их учительница. Она позвала к себе ребят, но подошли только трое, пройдя в сумме 50 м, а к Гене учительнице пришлось идти самой. Какое расстояние прошла учительница, если все шли кратчайшим путем?

4.

Можно ли записать в строку несколько целых чисел так, чтобы среди них ровно два не делились на 2, ровно три — на 3, ровно четыре — на 4, ровно пять — на 5 и ровно шесть — на 6?

5.

Разрежьте фигуру, изображенную на рисунке, на четыре части, которыми можно полностью оклеить куб без наложений.

6.

Семиклассник разрезал бумажный квадрат на прямоугольники периметра 7см, а восьмиклассник точно такой же квадрат — на прямоугольники периметра 8см. Могло ли у восьмиклассника получиться больше прямоугольников?

7.

Прямоугольник размером 204 × 2004 замощен одним слоем костяшек домино (каждая костяшка покрывает ровно две клетки). Докажите, что его можно замостить вторым слоем так, чтобы каждая плитка верхнего слоя опиралась на две разные плитки нижнего слоя.

8.

Пятнадцать друзей перезванивались в новогоднюю ночь. Каждый из них утверждает, что поговорил с каждым ровно один раз, при этом после полуночи ему позвонили столько же раз, сколько и до полуночи. Возможно ли такое?