M681 - M700 (20)

1.

M681

а) Придумайте целые числа a, b, c, d такие, что числа a² + b², a² + b²+ c², a² + b²+ c² + d² — квадраты целых чисел.

б) Существует ли последовательность, состоящая из квадратов целых чисел такая, что при любом n сумма n ее первых членов — квадрат целого числа?

2.

M682

Внутри треугольника Δ нужно расположить треугольник Δ₁ так, чтобы у каждого из трех квадратов, построенных на сторонах треугольника Δ₁, две вершины лежали на разных сторонах треугольника Δ (показано на рисунке).

а) Докажите, что медианы треугольника перпендикулярны сторонам треугольника .

б) Для любого ли остроугольного треугольника такое построение возможно?

3.

M683

Несколько кружков одинакового размера положили на стол так, что никакие два не перекрываются. Докажите, что кружки можно раскрасить в четыре цвета так, что любые два касающихся кружка будут окрашены в разные цвета. Найдите расположение кружков, при котором трех цветов для такой раскраски недостаточно.

4.

M684

Двое играют в следующий вариант «морского боя». Один игрок располагает на доске n × n некоторое количество непересекающихся «кораблей» n × 1 (быть может, ни одного). Второй игрок наносит одновременно ряд ударов по полям доски и про каждое поле получает от противника ответ — попал или промахнулся. По какому минимальному числу полей следует нанести удары, чтобы по ответу противника можно было однозначно определить расположение всех его кораблей? Рассмотрите три случая:
а) n = 4,
б) n = 10,
в) n — любое натуральное число.

5.

M685

Два подмножества множества натуральных чисел назовем конгруэнтными, если одно получается из другого сдвигом на целое число. (Например, множество четных и нечетных чисел конгруэнтны.) Можно ли разбить множество натуральных чисел на бесконечное число (непересекающихся) бесконечных конгруэнтных подмножеств?

6.

M686

Для любого ли числа x³1 верно равенство ?
(Здесь через [y] обозначена целая часть числа y.)

7.

M687

а) В девятиугольной пирамиде все 9 боковых ребер и все 27 диагоналей основания окрашены: некоторые — в красный цвет, остальные — в синий. Докажите, что существуют три вершины пирамиды, служащие вершинами треугольника, все стороны которого окрашены в одинаковый цвет.

б) Верно ли аналогичное утверждение для восьмиугольной пирамиды?

8.

M688

Даны натуральные числа a₁ ,a₂, ..., a_n такие, что a_k £ k (k = 1, 2, ..., n). Докажите, что одно из выражений a₁ ± a₂± a₃ ± ...± a_n равно нулю.

9.

M689

Докажите, что из одинаковых плиток, имеющих форму равнобедренных трапеций с основаниями 3 см и высотой 1 см, нельзя составить прямоугольник.

10.

М690*

а) Внутри выпуклого многоугольника с площадью S₁ и периметром P₁ расположен выпуклый многоугольник с площадью S₂ и периметром P₂. Докажите неравенство

б) Сформулируйте и докажите аналогичное утверждение для выпуклых многогранников.