M681 - M700 (20)

1.

M681

а) Придумайте целые числа a, b, c, d такие, что числа a² + b², a² + b²+ c², a² + b²+ c² + d² — квадраты целых чисел.

б) Существует ли последовательность, состоящая из квадратов целых чисел такая, что при любом n сумма n ее первых членов — квадрат целого числа?

2.

M682

Внутри треугольника Δ нужно расположить треугольник Δ₁ так, чтобы у каждого из трех квадратов, построенных на сторонах треугольника Δ₁, две вершины лежали на разных сторонах треугольника Δ (показано на рисунке).

а) Докажите, что медианы треугольника перпендикулярны сторонам треугольника .

б) Для любого ли остроугольного треугольника такое построение возможно?

3.

M683

Несколько кружков одинакового размера положили на стол так, что никакие два не перекрываются. Докажите, что кружки можно раскрасить в четыре цвета так, что любые два касающихся кружка будут окрашены в разные цвета. Найдите расположение кружков, при котором трех цветов для такой раскраски недостаточно.

4.

M684

Двое играют в следующий вариант «морского боя». Один игрок располагает на доске n × n некоторое количество непересекающихся «кораблей» n × 1 (быть может, ни одного). Второй игрок наносит одновременно ряд ударов по полям доски и про каждое поле получает от противника ответ — попал или промахнулся. По какому минимальному числу полей следует нанести удары, чтобы по ответу противника можно было однозначно определить расположение всех его кораблей? Рассмотрите три случая:
а) n = 4,
б) n = 10,
в) n — любое натуральное число.

5.

M685

Два подмножества множества натуральных чисел назовем конгруэнтными, если одно получается из другого сдвигом на целое число. (Например, множество четных и нечетных чисел конгруэнтны.) Можно ли разбить множество натуральных чисел на бесконечное число (непересекающихся) бесконечных конгруэнтных подмножеств?

6.

M686

Для любого ли числа x³1 верно равенство ?
(Здесь через [y] обозначена целая часть числа y.)

7.

M687

а) В девятиугольной пирамиде все 9 боковых ребер и все 27 диагоналей основания окрашены: некоторые — в красный цвет, остальные — в синий. Докажите, что существуют три вершины пирамиды, служащие вершинами треугольника, все стороны которого окрашены в одинаковый цвет.

б) Верно ли аналогичное утверждение для восьмиугольной пирамиды?

8.

M688

Даны натуральные числа a₁ ,a₂, ..., a_n такие, что a_k £ k (k = 1, 2, ..., n). Докажите, что одно из выражений a₁ ± a₂± a₃ ± ...± a_n равно нулю.

9.

M689

Докажите, что из одинаковых плиток, имеющих форму равнобедренных трапеций с основаниями 3 см и высотой 1 см, нельзя составить прямоугольник.

10.

М690*

а) Внутри выпуклого многоугольника с площадью S₁ и периметром P₁ расположен выпуклый многоугольник с площадью S₂ и периметром P₂. Докажите неравенство

б) Сформулируйте и докажите аналогичное утверждение для выпуклых многогранников.

11.

M691

Будем говорить, что число обладает свойством (К) , если оно разлагается в произведение К последовательных натуральных чисел, больших 1.

а) Найдите К такое, для которого некоторое число N обладает одновременно свойствами (К) и (К + 2).

б) Докажите, что чисел, обладающих одновременно свойствами (2) и (4), не существует.

12.

M692

Точки C₁, A₁, B₁ взяты на сторонах, соответственно, АВ, ВС, СА треугольника ABC так, что АС₁ : С₁В = ВA₁ : A₁С = CB₁ : BA₁ = 1 : 3. Докажите, что периметр Р треугольника AВС и периметр Р₁ треугольника А₁В₁С₁ связаны неравенствами

а) Р₁<3/4P;

б) Р₁>1/2P.

13.

M693

В некотором поселке 1000 жителей. Ежедневно каждый из них делится узнанными накануне новостями со всеми своими знакомыми. Известно, что любая новость становится известной всем жителям поселка. Докажите, что можно выбрать 90 жите лей так, что если одновременно всем им сообщить какую-то новость, то через 10 дней она станет известной всем жителям поселка.

14.

M694

В каждой вершине куба записано число. За один шаг к двум числам, размещенным на одном (любом) ребре, прибавляется по единице. Можно ли за несколько таких шагов сделать все восемь чисел равными между собой, если вначале были поставлены числа, как на рисунке слева? как на среднем рисунке? как на рисунке справа?

15.

M695*

Можно ли все клетки какой-нибудь прямоугольной таблицы окрасить в белый и черный цвета так, чтобы черных и белых клеток было поровну, а в каждой строке и в каждом столбце было более 3/4 клеток одного цвета?

16.

M696

Mожно ли таблицу 10 × 10 клеток заполнить 100 различными натуральными числами так, чтобы для любого квадрата k × k клеток (2£ k£ 10)

а) суммы,

б) произведения k чисел на его диагоналях были одинаковы?

17.

M697

Назовем пузатостью прямоугольника отношение его меньшей стороны к большей (пузатость квадрата равна 1). Докажите, что, как бы ни разрезать квадрат на прямоугольники, сумма их пузатостей будет не меньше 1.

18.

M698

На сторонах a, b, c, d вписанного в окружность четырехугольника «наружу» построены прямоугольники размерами a×c, b×d, c×a, d×b. Докажите, что центры этих прямоугольников являются вершинами

а) параллелограмма,

б) прямоугольника.

19.

M699

Полукруг с диаметром АВ разрезан отрезком СО, перпендикулярным АВ, на два криволинейных треугольника ACD и BCD, в которые вписаны окружности, касающиеся АВ в точках Е и F (показано на рисунке). Докажите, что

а) AD = AF;

б) DF — биссектриса угла BDC;

в) величина угла EDF не зависит от выбора точки С на АВ.

20.

M700

Можно ли множество всех конечных десятичных дробей разбить на а) два, 6) три класса так, чтобы в один класс не попали два числа с разностью 10^m (ни при каком целом m = 0, ±1, ±2, ...)?