1863
358
442
всего задач:
всего разделов:
активных пользователей:
  Login: (регистрация)
  Пароль:
    

30 мартра 2005

Форумы снова функционируют.

21 декабря 2004

Видимо в связи с обнаруженными дырами в phpBB, форум был взломан, а через него взломано и всё остальное содержимое ceemat.ru. Всё кроме форума восстановлено, ведется дискуссия по поводу его сохранения.
Приносим извинения за неудобства.

29 сентября 2004

Форум обновился до версии 2.0.10

15 мая 2004

Новый раздел: "Программирование"

16 апреля 2004 года

Задачи Ярославского турнира математических боев — 124 задачи с решениями.

29 марта 2004

Таллинская викторина: занимательные вопросы и задачи для увлеченных химией.

Rambler's Top100

Костромской ЦДООШ СУНЦ МГУ - Школа им. А. Н. Колмогорова.\r\nОфициальный сайт

M681 - M700 (20)

Страницы:  1  2  » 

1.

M681

а) Придумайте целые числа a, b, cd такие, что числа a2 + b2, a2 + b2c2, a2 + b2c2 + d2 — квадраты целых чисел.

б) Существует ли последовательность, состоящая из квадратов целых чисел такая, что при любом n сумма n ее первых членов — квадрат целого числа?

 13 Января 2004     21:52 

2.

M682

Внутри треугольника Δ нужно расположить треугольник Δ1 так, чтобы у каждого из трех квадратов, построенных на сторонах треугольника Δ1, две вершины лежали на разных сторонах треугольника Δ (показано на рисунке).

а) Докажите, что медианы треугольника перпендикулярны сторонам треугольника .

б) Для любого ли остроугольного треугольника такое построение возможно?

 13 Января 2004     21:56 

3.

M683

Несколько кружков одинакового размера положили на стол так, что никакие два не перекрываются. Докажите, что кружки можно раскрасить в четыре цвета так, что любые два касающихся кружка будут окрашены в разные цвета. Найдите расположение кружков, при котором трех цветов для такой раскраски недостаточно.

 13 Января 2004     21:58 

4.

M684

Двое играют в следующий вариант «морского боя». Один игрок располагает на доске n × n некоторое количество непересекающихся «кораблей» n × 1 (быть может, ни одного). Второй игрок наносит одновременно ряд ударов по полям доски и про каждое поле получает от противника ответ — попал или промахнулся. По какому минимальному числу полей следует нанести удары, чтобы по ответу противника можно было однозначно определить расположение всех его кораблей? Рассмотрите три случая:
а) n = 4,
б) n = 10,
в) n — любое натуральное число.

 13 Января 2004     21:59 

5.

M685

Два подмножества множества натуральных чисел назовем конгруэнтными, если одно получается из другого сдвигом на целое число. (Например, множество четных и нечетных чисел конгруэнтны.) Можно ли разбить множество натуральных чисел на бесконечное число (непересекающихся) бесконечных конгруэнтных подмножеств?

 13 Января 2004     22:01 

6.

M686

Для любого ли числа x³1 верно равенство ?
(Здесь через [y] обозначена целая часть числа y.)

 13 Января 2004     22:02 

7.

M687

а) В девятиугольной пирамиде все 9 боковых ребер и все 27 диагоналей основания окрашены: некоторые — в красный цвет, остальные — в синий. Докажите, что существуют три вершины пирамиды, служащие вершинами треугольника, все стороны которого окрашены в одинаковый цвет.

б) Верно ли аналогичное утверждение для восьмиугольной пирамиды?

 13 Января 2004     22:02 

8.

M688

Даны натуральные числа a1 ,a2, ..., an такие, что ak £ k (k = 1, 2, ..., n). Докажите, что одно из выражений a1 ± a2± a3 ± ...± an равно нулю.

 13 Января 2004     22:03 

9.

M689

Докажите, что из одинаковых плиток, имеющих форму равнобедренных трапеций с основаниями 3 см и высотой 1 см, нельзя составить прямоугольник.

 13 Января 2004     22:03 

10.

М690*

а) Внутри выпуклого многоугольника с площадью S1 и периметром P1 расположен выпуклый многоугольник с площадью S2 и периметром P2. Докажите неравенство

б) Сформулируйте и докажите аналогичное утверждение для выпуклых многогранников.

 17 Января 2004     23:21 
Задач на странице:  5  10  25