1863
358
471
всего задач:
всего разделов:
активных пользователей:
  Login: (регистрация)
  Пароль:
    

30 мартра 2005

Форумы снова функционируют.

21 декабря 2004

Видимо в связи с обнаруженными дырами в phpBB, форум был взломан, а через него взломано и всё остальное содержимое ceemat.ru. Всё кроме форума восстановлено, ведется дискуссия по поводу его сохранения.
Приносим извинения за неудобства.

29 сентября 2004

Форум обновился до версии 2.0.10

15 мая 2004

Новый раздел: "Программирование"

16 апреля 2004 года

Задачи Ярославского турнира математических боев — 124 задачи с решениями.

29 марта 2004

Таллинская викторина: занимательные вопросы и задачи для увлеченных химией.

Rambler's Top100

Костромской ЦДООШ СУНЦ МГУ - Школа им. А. Н. Колмогорова.\r\nОфициальный сайт

M661 - M680 (20)

Страницы:  «  1  2  3  4 

16.

M676

Докажите, что для любого натурального n сумма цифр числа 1981m не меньше 19.

 15 Января 2004     21:53 

17.

M677

Внутри остроугольного треугольника АВС выбрана точка M, являющаяся
а) точкой пересечения медиан;
б) точкой пересечения биссектрис;
в) точкой пересечения высот.

Докажите, что если радиусы окружностей, вписанных в треугольники АМВ, МВС, АМС, равны, то треугольник АВС — правильный.

 15 Января 2004     21:54 

18.

M679

а) На плоскости расположены четыре круга так, что первый касается второго в точке A, второй — третьего в точке B, третий — четвертого в точке C, а четвертый — первого в точке D . (показано на рисунке). Докажите, что через четыре названные точки можно провести окружность или прямую.

б) В пространстве расположены четыре шара так, что первый касается второго в точке A, второй — третьего в точке В, третий — четвертого в точке С. а четвертый — первого в точке D. Докажите, что четыре названные точки лежат в одной плоскости.

в) Докажите, что в условиях предыдущей задачи эти четыре точки лежат на одной окружности или на одной прямой.

 15 Января 2004     21:54 

19.

M680*

Два связиста играют в такую игру. Имеются n телефонных узлов, и связисты по очереди соединяют кабелем два из них по своему выбору. Выигрывает тот, после хода которого с любого узла можно будет дозвониться до любого другого (быть может, через несколько промежуточных; начало игры изображено на рисунке 3).

а) Выясните, кто выигрывает при n = 4, 5, 6, 7, 8 — начинающий или его партнер?

б) Каков ответ при произвольном n?

в) Пусть игрок, связавший все узлы, проигрывает. Ответьте на вопросы пунктов а) и б) для этой новой игры.

г) Пусть вначале все узлы попарно связаны кабелем, а связисты убирают по очереди по одному соединению. Игрок, нарушивший связь в схеме, проигрывает. Вопрос тот же: кто выигрывает при правильной стратегии для n = 4, 5, 6, 7, 8? А для произвольного n?

Замечание. Можно было бы рассмотреть четвертый вариант: считать, что в пункте г) игрок, нарушивший связь, выигрывает. Полное исследование этого варианта игры неизвестно.

 15 Января 2004     21:55 

20.

M678

2m-значное число называется справедливым, если его четные разряды содержат столько же четных цифр, сколько и нечетные. Докажите, что в любом (2m + 1)-значном числе можно вычеркнуть одну из цифр так, чтобы полученное 2m-значное число было справедливым (показано на рисунке).

 18 Января 2004     16:10 
Задач на странице:  5  10  25