M661 - M680 (20)

1.

M661

На берегу круглого озера четыре пристани K, L, P, Q. От пристани K отплывает катер, от L — лодка. Если катер поплывет прямо в P, а лодка — прямо в Q, то они столкнутся в некоторой точке X озера. Докажите, что если катер поплывет в Q, а лодка в P, то они достигнут этих пристаней одновременно.

2.

M662

В копилке собрано четыре рубля медными монетами (по 1, 3 и 5 копеек). Докажите, что этими монетами можно заплатить три рубля без сдачи.

3.

M663

Найдите все простые числа p, для которых число 2^p + p² — тоже простое.

4.

M664

Дан четырехугольник ABCD площадью S. Обозначим точки пересечения высот треугольников ABC, BCD, CDA, DAB через N, K, L, M соответственно. Докажите, что площадь четырехугольника NKLM тоже равна S.

5.

M665

Световое табло состоит из нескольких лампочек, каждая из которых может находиться в двух состояниях (гореть или не гореть). На пульте несколько кнопок, при нажатии каждой из которых одновременно меняется состояние некоторого набора лампочек (для каждой кнопки — своего). Вначале лампочки не горят.

а) Докажите, что число различных узоров, которые можно получить на табло, — степень двойки.

б) Сколько различных узоров можно получить на табло, состоящем из m×n лампочек, расположенных в форме прямоугольника, если кнопками можно переключить каждый горизонтальный и каждый вертикальный ряд лампочек (проверьте ваш ответ для небольших значений m, n)?

в) Придумайте другие примеры табло и наборов (переключаемых кнопками), в которых можно найти число узоров.