М1861 - М1880 (20)

11.

М1874

Найдите все решения уравнения х^у – у^х = 1 в натуральных числах х, у.

12.

М1868*

Рассмотрим множество всех квадратных таблиц p × p клеток (p > 1), заполненных натуральными числами 1, 2, …, р². Назовём правильной таблицу, в которой в первой строке (столбце) стоят по порядку числа 1, 2, …, р, во второй строке (столбце) р + 1, р + 2, …, 2р, и так далее. Пусть А — подмножество нашего множества таблиц,в котором каждую таблицу можно получить из правильной операциями перестановки столбцов и перестановки строк, В —подмножество, в котором операциями прибавления числа 1 ко всем числам строки или столбца из любой таблицы можно получить таблицу с равными числами. Докажите, что А = В тогда и только тогда, когда число р — простое.

13.

М1869

а) Решите уравнение
.

б) Пусть х > 0, y > 0, x ≠ y, n, m — натуральные,
.
Докажите, что
.

14.

М1864

В квадрат ABCD вписана ломаная MKALN такая, что ÐMKA = ÐKAL = ÐALN = 45° (показано на рисунке). Докажите, что MK² + AL² = AK² + NL²

15.

М1875

У выпуклого многогранника внутренний двугранный угол при каждом ребре острый. Сколько может быть граней у многогранника?

16.

М1876

а) Во всех клетках квадрата n × n стоят минусы. За один ход можно поменять знаки в одной из четырёх фигурок:

При каких n можно получить плюсы во всех клетках квадрата?

б) Докажите, что если в каком-то квадрате поменяли таким образом все знаки, то при этом фигурки каждого из четырёх видов использовались одинаковое по чётности число раз.

17.

М1877

За 64 хода король обошёл все поля шахматной доски и вернулся на прежнее место. Среди прочих он сделал ходы a2 — b2 и g8 — g7 (показано на рисунке).

Докажите, что король сделал не меньше двух диагональных ходов.

18.

М1878

На высоте СН треугольника АВС построена, как на диаметре, окружность. Докажите, что касательные к этой окружности, проведённые в точках её пересечения со сторонами АС и ВС, пересекаются на медиане СМ треугольника.

19.

М1879

На левую и правую чашки весов положили по 100 гирек из набора 1г, 2г, 3г, ..., 200г. Значимостью гирьки с какой-либо чашки назовём число тех гирек с другой чашки, которые легче её. Докажите, что весы покажут равновесие тогда и только тогда, когда суммарная значимость гирек левой чашки равна суммарной значимости гирек правой чашки.

20.

М1880

На прямой даны 2k - 1 белых и 2k - 1 чёрных отрезков. Известно, что любой белый отрезок пересекается хотя бы с k чёрными, а любой чёрный — хотя бы с k белыми. Докажите, что найдутся чёрный отрезок, пересекающийся со всеми белыми отрезками, и белый отрезок, пересекающийся со всеми чёрными.