М1861 - М1880 (20)

1.

М1861

Точки в количестве 2n + 1 разделили окружность на 2n + 1 равных дуг, где n > 1. Среди этих точек n + 1 — красные. Докажите, что найдётся равнобедренный треугольник с красными вершинами.

2.

М1862

Биссектрисы AD, BE и CF треугольника АВС пересекаются в точке I. Докажите, что

а) если ID = IF = IE, то треугольник АВС правильный;

б) если треугольник DFE правильный, то и треугольник АВС правильный.

3.

М1863*

Рассмотрим последовательность, первые два члена которой равны 1 и 2 соответственно, а каждый следующий член — наименьшее натуральное число, которое ещё не встретилось в последовательности и которое не взаимно просто с предыдущим членом последовательности. Докажите, что каждое натуральное число входит в эту последовательность.

4.

М1865*

Для натурального числа N = 6 можно указать натуральное число М = 460100021743857360295716, обладающее следующими свойствами:
1) первые цифры числа М представляют собой число N;
2) если эти первые цифры перенести в конец числа M, то (отбросив при необходимости первые нули, получим число М₁ = 10002174385736029571646, которое ровно в N раз меньше числа М.

Для каких ещё натуральных N существует число М, обладающее такими же свойствами?

5.

М1866

Остров разделён на княжества, каждое из которых представляет собой на карте острова параллелограмм. При этом любые два параллелограмма либо не имеют общего участка границы, либо в качестве общего участка границы имеют общую сторону. Докажите, что для правильной раскраски карты острова достаточно трёх красок. (Раскраска правильная, если любые два княжества, имеющие общий участок границы, закрашены в разные цвета).

6.

М1867*

Пусть М — множество членов некоторой геометрической прогрессии. Каково наибольшее возможное число элементов в пересечении множества М с множеством
а) ;
б) ?

7.

М1870

а) На плоскости даны точки A, B, C, D общего положения (то есть никакие три из них не лежат на одной прямой). Известно. что углы между прямыми АВ и CD, AC и BD, AD и ВС равны. Докажите, что они прямые.

б) Углы между противоположными рёбрами тетраэдра равны. Верно ли, что они прямые?

8.

М1871

За круглым столом 35 гостей уселись пить чай. Им выдали 10 литровых и 25 пол-литровых кружек. Каждому принесли пол-литровый чайник с чаем. Гость может вылить содержимое чайника себе или одному из своих соседей. Гости согласны пить только из полной кружки. Какое наибольшее число гостей может напиться чаю?

9.

М1872

Большой прямоугольник разрезан на прямоугольники, у каждого из которых имеется сторона, принадлежащая границе большого прямоугольника. Докажите, что найдутся два прямоугольника с общей стороной.

10.

М1873

В стране несколько городов, соединённых дорогами с односторонним и двусторонним движением. Известно, что из каждого города в любой другой можно проехать ровно одним путём, не проходящим два раза через один и тот же город. Докажите, что страну можно разделить на три губернии так, чтобы ни одна дорога не соединяла два города из одной губернии.

11.

М1874

Найдите все решения уравнения х^у – у^х = 1 в натуральных числах х, у.

12.

М1868*

Рассмотрим множество всех квадратных таблиц p × p клеток (p > 1), заполненных натуральными числами 1, 2, …, р². Назовём правильной таблицу, в которой в первой строке (столбце) стоят по порядку числа 1, 2, …, р, во второй строке (столбце) р + 1, р + 2, …, 2р, и так далее. Пусть А — подмножество нашего множества таблиц,в котором каждую таблицу можно получить из правильной операциями перестановки столбцов и перестановки строк, В —подмножество, в котором операциями прибавления числа 1 ко всем числам строки или столбца из любой таблицы можно получить таблицу с равными числами. Докажите, что А = В тогда и только тогда, когда число р — простое.

13.

М1869

а) Решите уравнение
.

б) Пусть х > 0, y > 0, x ≠ y, n, m — натуральные,
.
Докажите, что
.

14.

М1864

В квадрат ABCD вписана ломаная MKALN такая, что ÐMKA = ÐKAL = ÐALN = 45° (показано на рисунке). Докажите, что MK² + AL² = AK² + NL²

15.

М1875

У выпуклого многогранника внутренний двугранный угол при каждом ребре острый. Сколько может быть граней у многогранника?

16.

М1876

а) Во всех клетках квадрата n × n стоят минусы. За один ход можно поменять знаки в одной из четырёх фигурок:

При каких n можно получить плюсы во всех клетках квадрата?

б) Докажите, что если в каком-то квадрате поменяли таким образом все знаки, то при этом фигурки каждого из четырёх видов использовались одинаковое по чётности число раз.

17.

М1877

За 64 хода король обошёл все поля шахматной доски и вернулся на прежнее место. Среди прочих он сделал ходы a2 — b2 и g8 — g7 (показано на рисунке).

Докажите, что король сделал не меньше двух диагональных ходов.

18.

М1878

На высоте СН треугольника АВС построена, как на диаметре, окружность. Докажите, что касательные к этой окружности, проведённые в точках её пересечения со сторонами АС и ВС, пересекаются на медиане СМ треугольника.

19.

М1879

На левую и правую чашки весов положили по 100 гирек из набора 1г, 2г, 3г, ..., 200г. Значимостью гирьки с какой-либо чашки назовём число тех гирек с другой чашки, которые легче её. Докажите, что весы покажут равновесие тогда и только тогда, когда суммарная значимость гирек левой чашки равна суммарной значимости гирек правой чашки.

20.

М1880

На прямой даны 2k - 1 белых и 2k - 1 чёрных отрезков. Известно, что любой белый отрезок пересекается хотя бы с k чёрными, а любой чёрный — хотя бы с k белыми. Докажите, что найдутся чёрный отрезок, пересекающийся со всеми белыми отрезками, и белый отрезок, пересекающийся со всеми чёрными.