1863
358
457
всего задач:
всего разделов:
активных пользователей:
  Login: (регистрация)
  Пароль:
    

30 мартра 2005

Форумы снова функционируют.

21 декабря 2004

Видимо в связи с обнаруженными дырами в phpBB, форум был взломан, а через него взломано и всё остальное содержимое ceemat.ru. Всё кроме форума восстановлено, ведется дискуссия по поводу его сохранения.
Приносим извинения за неудобства.

29 сентября 2004

Форум обновился до версии 2.0.10

15 мая 2004

Новый раздел: "Программирование"

16 апреля 2004 года

Задачи Ярославского турнира математических боев — 124 задачи с решениями.

29 марта 2004

Таллинская викторина: занимательные вопросы и задачи для увлеченных химией.

Rambler's Top100

Костромской ЦДООШ СУНЦ МГУ - Школа им. А. Н. Колмогорова.\r\nОфициальный сайт

11 класс (10)

В книге В.В.Похлебкина "Чай. Его типы, свойства, употребление" написано: "В процессе длительного кипячения из воды улетучиваются большие массы воды и таким путем увеличивается доля ... "тяжелой" воды D2O... Тяжелая вода, естественно, осаждается внизу любого сосуда — чайника, титана. Поэтому, если не вылить остатки кипяченой воды, а долить к ней свежей, то при повторном кипячении процент тяжелой воды в данном сосуде еще больше увеличится. При многократных добавлениях в остатки старой кипяченой воды новых количеств свежей воды может быть получена довольно большая концентрация тяжелой воды. А это опасно для здоровья человека."

Действительно ли это так? Определите, сколько раз нужно доливать воду и кипятить ее в чайнике объемом 1,5 л, для того чтобы концентрация тяжелой воды увеличилась в 10 раз. Необходимые данные: а) мольная доля тяжелой воды в питьевой воде — 0,016%; б) коэффициент разделения, который показывает отношение концентраций тяжелой воды в жидкой фазе и в паре, равен 1,03; в) чайник каждый раз выкипает наполовину.

Решим задачу в общем виде. Введем обозначения: коэффициент разделения α = 1,03; мольная доля тяжелой воды в питьевой воде x0 = 0,00016; общее количество воды в чайнике — ν молей; мольная доля тяжелой воды в чайнике после n операций выпаривания и доливания воды xn. Найдем соотношение между xn + 1 и xn.

Пусть в чайнике имеется ν молей воды с мольной долей тяжелой воды xn. Выпарим ν/2 молей воды, тогда в чайнике мольная доля тяжелой воды немного увеличится; обозначим ее x. Мольная доля тяжелой воды в газовой фазе будет равна x/α. Общее количество тяжелой воды в чайнике и в паре после выпаривания не изменится:

откуда следует, что

     (1)

Если теперь к чайнику долить ν/2 молей питьевой воды с содержанием тяжелой воды x0, то мольная доля тяжелой воды в чайнике составит

     (2)

Полученное соотношение в математике называется разностным уравнением, а в школьном курсе — рекуррентным соотношением. Это уравнение можно решить в общем виде и найти значения xn при любых значениях n. Мы этого делать не будем, а найдем только предельное значение xn при n → ∞. Подставив в это уравнение значение n = ∞, найдем

откуда следует, что

Этот интересный результат означает, что, сколько бы раз мы ни повторяли процедуру выпаривания воды и доливания свежей воды, мы не сможем получить мольное содержание тяжелой воды больше, чем 0,016(1 + 1,03)/2 = 0,0162%.

Виновата во всем свежая вода, которую доливают после кипячения (слагаемое x0/2 в уравнении (2)). Если бы ее не было, то после каждого выпаривания мольная доля тяжелой воды увеличивалась бы в 2α/(1 + α) раз (см. уравнение (1)) и в принципе могла бы возрастать неограниченно. Однако при разумных масштабах выпаривания концентрация тяжелой воды увеличивается крайне незначительно. Рассчитаем, например, сколько раз нужно было бы выпарить воду наполовину без доливания свежей воды, чтобы увеличить концентрацию тяжелой воды в 10 раз:

Решение этого уравнения:

Таким образом, чтобы увеличить содержание тяжелой воды в 10 раз надо выпарить половину воды 157 раз подряд, то есть уменьшить ее исходное количество в 2157 ~ 1,8 · 1047 раз, что представляется бессмысленным.

Поэтому пейте спокойно чай вместе с друзьями и не беспокойтесь по поводу тяжелой воды. При любом кипячении ее количество не может заметно измениться по сравнению с питьевой водой — слишком мал коэффициент разделения.

 8 Января 2004     20:53 
Раздел каталога :: Ссылка на задачу