2003 год, № 5 (5)

1.

Стал я рядом с цифрой пять
Слева двойки выставлять.
Двойку выставил — и рад:
Получается квадрат.
25 = 5²
Снова двойка — снова рад:
У меня опять квадрат.
225 = 15²
Стал я дальше выставлять,
А квадратов не видать.
2225, 22225, ...
Помогите разобарться.
Вдруг — не стоит и стараться.

2.

В треугольнике АВС центр вписанной окружности отразили симметрично относительно стороны ВС — получили точку, лежащую на описанной окружности. Докажите, что угол А равен 60°.

3.

На станцию Нью-Васюки прибыл товарный поезд, на каждом вагоне которого написан восьмизначный номер. Этот номер может начинаться с нуля, но не может состоять из одних нулей. В номере головного вагона каждая содержащаяся в нем цифра встречается одинаковое количество раз. Номер хвостового вагона обладает таким же свойством. Какие это номера, если номер головного вагона равен квадрату номера хвостового вагона?

4.

Профессор Мумбум-Плюмбум пытается подобрать две цифры a и b такие, что обыкновенная дробь a/b равна десятичной дроби a,b. Удастся ли ему это сделать?

5.

Андрей взял клетчатую бумагу 10 × 10 и во всех клетках как попало провел по одной диагонали. После чего 200 получившихся треугольников раскрасил в красный, желтый и синий цвета так, что любые два треугольника, имеющие общую сторону, оказались окрашенными в разные цвета. Считаете ли вы, что Андрею повезло, или трех цветов всегда достаточно?