1. Отрезки, заключенные между параллельными прямыми (16)

11.

Задача 1.11

Точки A и B высекают на окружности с центром O дугу величиной 60°. На этой дуге взята точка M. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков MA и OB, перпендикулярна прямой, проходящей через середины отрезков MB и OA.

12.

Задача 1.12

а) Точки A, B и C лежат на одной прямой, а точки A₁, B₁, и C₁ — на другой. Докажите, что если AB₁||BA₁ и AC₁||CA₁, то BC₁||CB₁.

б) Точки A, B и C лежат на одной прямой, а точки A₁, B₁ и C₁ таковы, что AB₁||BA₁, AC₁||CA₁ и BC₁||CB₁. Докажите, что точки A₁, B₁ и C₁ лежат на одной прямой.

13.

Задача 1.13

В треугольнике ABC проведены биссектрисы AA₁ и BB₁. Докажите, что расстояние от любой точки M отрезка A₁B₁ до прямой AB равно сумме расстояний от M до прямых AC и BC.

14.

Задача 1.14

Пусть M и N — середины сторон AD и BC прямоугольника ABCD. На продолжении отрезка DC за точку D взята точка P; Q — точка пересечения прямых PM и AC. Докажите, что РQNM  =  РMNP.

15.

Задача 1.15

На продолжениях оснований AD и BC трапеции ABCD за точки A и C взяты точки K и L. Отрезок KL пересекает стороны AB и CD в точках M и N, а диагонали AC и BD в точках O и P. Докажите, что если KM = NL, то KO = PL.

16.

Задача 1.16

На сторонах AB, BC, CD и DA выпуклого четырехугольника ABCD взяты точки P, Q, R и S так, что BP : AB = CR : CD = a и AS : AD = BQ : BC = b. Докажите, что отрезки PR и QS делятся точкой их пересечения в отношениях b : (1 – b) и a : (1 – a).