1. Отрезки, заключенные между параллельными прямыми (16)

1.

Задача 1.1

Основания AD и BC трапеции ABCD равны a и b (a > b).

a) Найдите длину отрезка, высекаемого диагоналями на средней линии.

б) Найдите длину отрезка MN, концы которого делят стороны AB и CD в отношении AM : MB = DN : NC = p : q.

2.

Задача 1.2

Докажите, что середины сторон произвольного четырехугольника — вершины параллелограмма. Для каких четырехугольников этот параллелограмм является прямоугольником, для каких — ромбом, для каких — квадратом?

3.

Задача 1.3

а) Точки A₁ и B₁ делят стороны BC и AC треугольника ABC в отношениях BA₁ : A₁C = 1 : p и AB₁ : B₁C = 1 : q. В каком отношении отрезок AA₁ делится отрезком BB₁?

б) На сторонах BC и AC треугольника ABC взяты точки A₁ и B₁. Отрезки AA₁ и BB₁ пересекаются в точке D. Пусть a₁, b₁, c и d - расстояния от точек A₁, B₁, C и D до прямой AB. Докажите, что

4.

Задача 1.4

Через точку P медианы CC₁ треугольника ABC проведены прямые AA₁ и BB₁ (точки A₁ и B₁ лежат на сторонах BC и CA). Докажите, что A₁B₁ || AB.

5.

Задача 1.5

Прямая, соединяющая точку P пересечения диагоналей четырехугольника ABCD с точкой Q пересечения прямых AB и CD, делит сторону AD пополам. Докажите, что она делит пополам и сторону BC.

6.

Задача 1.6

На стороне AD параллелограмма ABCD взята точка P так, что AP : AD = 1 : n; Q — точка пересечения прямых AC и BP. Докажите, что AQ : AC = 1 : (n + 1).

7.

Задача 1.7

Вершины параллелограмма A₁B₁C₁D₁ лежат на сторонах параллелограмма ABCD (точка A₁ лежит на стороне AB, точка B₁ - на стороне BC и т. д.). Докажите, что центры обоих параллелограммов совпадают.

8.

Задача 1.8

На диагонали BD параллелограмма ABCD взята точка K. Прямая AK пересекает прямые BC и CD в точках L и M. Докажите, что AK² = LK · KM.

9.

Задача 1.9

Одна из диагоналей вписанного в окружность четырехугольника является диаметром. Докажите, что проекции противоположных сторон на другую диагональ равны.

10.

Задача 1.10

На основании AD трапеции ABCD взята точка E так, что AE = BC. Отрезки CA и CE пересекают диагональ BD в точках O и P соответственно. Докажите, что если BO = PD, то AD² = BC²  +  AD · BC.

11.

Задача 1.11

Точки A и B высекают на окружности с центром O дугу величиной 60°. На этой дуге взята точка M. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков MA и OB, перпендикулярна прямой, проходящей через середины отрезков MB и OA.

12.

Задача 1.12

а) Точки A, B и C лежат на одной прямой, а точки A₁, B₁, и C₁ — на другой. Докажите, что если AB₁||BA₁ и AC₁||CA₁, то BC₁||CB₁.

б) Точки A, B и C лежат на одной прямой, а точки A₁, B₁ и C₁ таковы, что AB₁||BA₁, AC₁||CA₁ и BC₁||CB₁. Докажите, что точки A₁, B₁ и C₁ лежат на одной прямой.

13.

Задача 1.13

В треугольнике ABC проведены биссектрисы AA₁ и BB₁. Докажите, что расстояние от любой точки M отрезка A₁B₁ до прямой AB равно сумме расстояний от M до прямых AC и BC.

14.

Задача 1.14

Пусть M и N — середины сторон AD и BC прямоугольника ABCD. На продолжении отрезка DC за точку D взята точка P; Q — точка пересечения прямых PM и AC. Докажите, что РQNM  =  РMNP.

15.

Задача 1.15

На продолжениях оснований AD и BC трапеции ABCD за точки A и C взяты точки K и L. Отрезок KL пересекает стороны AB и CD в точках M и N, а диагонали AC и BD в точках O и P. Докажите, что если KM = NL, то KO = PL.

16.

Задача 1.16

На сторонах AB, BC, CD и DA выпуклого четырехугольника ABCD взяты точки P, Q, R и S так, что BP : AB = CR : CD = a и AS : AD = BQ : BC = b. Докажите, что отрезки PR и QS делятся точкой их пересечения в отношениях b : (1 – b) и a : (1 – a).