358
471
всего разделов:
активных пользователей:
30 мартра 2005
Форумы снова функционируют.
21 декабря 2004
Видимо в связи с обнаруженными дырами в phpBB, форум был взломан, а через него взломано и всё остальное содержимое ceemat.ru. Всё кроме форума восстановлено, ведется дискуссия по поводу его сохранения.
Приносим извинения за неудобства.
29 сентября 2004
Форум обновился до версии 2.0.10
15 мая 2004
Новый раздел: "Программирование"
16 апреля 2004 года
Задачи Ярославского турнира математических боев — 124 задачи с решениями.
29 марта 2004
Таллинская викторина: занимательные вопросы и задачи для увлеченных химией.
Вариант 11 класса (5)
Обозначим через S(n) сумму цифр, а через P(n) произведение цифр натурального числа n. Найти все натуральные числа n, для которых S(n) + P(n) = n. |
Ответ: все двузначные числа, оканчивающиеся на 9. Решение. 1) Покажем, что n не может быть более 99. Пусть n есть (k + 1)-значное число, где k ³ 2. Тогда n > 10k, S(n) £ 9k, P(n) £ 9k. Получаем, что
Таким образом, n > 9k + 9k ³ S(n) + P(n). То есть n не может быть корнем уравнения. 2) Рассмотрим случаи, когда n однозначное число и когда n двузначное число. Если n однозначно, то n = S(n) = P(n), то есть n = 0 (но 0 не является натуральным числом). Если n — двузначное число, то n = 10a + b (a и b — цифры числа n), S(n) = a + b, P(n) = ab. Получаем уравнение a + b + ab = 10a + b, которое приводится к виду a(b + 1) = 10a. Так как a ¹ 0, то b = 9. Не трудно убедиться, что все двузначные числа, оканчивающиеся на 9, удовлетворяют условию задачи. |
13 Декабря 2003 14:24 Раздел каталога :: Ссылка на задачу
|
