358
469
всего разделов:
активных пользователей:
30 мартра 2005
Форумы снова функционируют.
21 декабря 2004
Видимо в связи с обнаруженными дырами в phpBB, форум был взломан, а через него взломано и всё остальное содержимое ceemat.ru. Всё кроме форума восстановлено, ведется дискуссия по поводу его сохранения.
Приносим извинения за неудобства.
29 сентября 2004
Форум обновился до версии 2.0.10
15 мая 2004
Новый раздел: "Программирование"
16 апреля 2004 года
Задачи Ярославского турнира математических боев — 124 задачи с решениями.
29 марта 2004
Таллинская викторина: занимательные вопросы и задачи для увлеченных химией.
Весенний тур. Тренировочный вариант. 10-11 класс (5)
Итог подводился по трем задачам, по которым достигнуты наилучшие результаты.
Стоимость задач
| Номер задачи | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| Баллы | 3 | 3 | 4 | 5 | 5 |
Дан картонный прямоугольник со сторонами a см и b см, где b/2 < a < b. Докажите, что его можно разрезать на три куска, из которых можно сложить квадрат. |
Пусть ABCD — прямоугольник, AD = a, AB = b, b / 2 < a < b. Сторона искомого квадрата будет r = sqrt(ab) (эту длину можно даже построить с помощью циркуля и линейки). (sqrt - корень квадратный). Построим окружность с центром в точке D радиуса r. Она пересечет сторону АВ в некоторой точке Е, так как DA = a < r < sqrt(a2 + b2) = DB. Опустим перпендикуляр из С на прямую ED. Его основание Н будет принадлежать отрезку ED, так как H лежит на дуге окружности, построенной на стороне CD как на диаметре, а эта окружность лежит полностью внутри прямоугольника (так как a > b / 2). Разрежем прямоугольник по отрезкам ED и НС на три части. Часть АЕD перенесем на вектор АВ, совместив AD с ВС (пусть точка E перейдет при этом в точку E'). Тогда ЕЕ' = АЕ + ЕВ = CD. Переместим часть HCD на вектор DE, совместив CD с EE' (пусть точка H перейдет при этом в точку H'). Покажем, что H'E'CH — квадрат. Углы E'H'H и CHH' прямые, так как CH перпендикулярно DE. E'C параллельно ED, поэтому все углы H'E'CH прямые. H'H = DE = r; H'H × HC = S = ab, следовательно НС = r. Мы разрезали прямоугольник на три части и сложили из них квадрат, что и требовалось. |
5 Декабря 2003 22:00 Раздел каталога :: Ссылка на задачу
|