1863
358
467
всего задач:
всего разделов:
активных пользователей:
  Login: (регистрация)
  Пароль:
    

30 мартра 2005

Форумы снова функционируют.

21 декабря 2004

Видимо в связи с обнаруженными дырами в phpBB, форум был взломан, а через него взломано и всё остальное содержимое ceemat.ru. Всё кроме форума восстановлено, ведется дискуссия по поводу его сохранения.
Приносим извинения за неудобства.

29 сентября 2004

Форум обновился до версии 2.0.10

15 мая 2004

Новый раздел: "Программирование"

16 апреля 2004 года

Задачи Ярославского турнира математических боев — 124 задачи с решениями.

29 марта 2004

Таллинская викторина: занимательные вопросы и задачи для увлеченных химией.

Rambler's Top100

Костромской ЦДООШ СУНЦ МГУ - Школа им. А. Н. Колмогорова.\r\nОфициальный сайт

Весенний тур. Тренировочный вариант. 10-11 класс (5)

Итог подводился по трем задачам, по которым достигнуты наилучшие результаты.

Стоимость задач
Номер задачи 1 2 3 4 5
Баллы 3 3 4 5 5

Сто номерков выложили в ряд в порядке возрастания: 00, 01, 02, 03,..., 99. Затем номерки переставили так, что каждый следующий номерок стал получаться из предыдущего увеличением или уменьшением ровно одной из цифр на 1 (например, после 29 может идти 19, 39 или 28, а 30 или 20 — не может). Какое наибольшее число номерков могли остаться на своих местах?

Ответ: 50.

Сравним четность номерка с четностью его суммы цифр. Заметим, что у половины из номерков эти четности совпадают (это номерки 00 - 09, 20 - 29, 40 - 49, 60 - 69, 80 - 89), у другой половины — нет (это номерки 10 - 19, 30 - 39, 50 - 59, 70 - 79, 90 - 99).

В то же время, поскольку в новом ряду номерков каждый следующий получается изменением ровно одной цифры на 1, то четность суммы цифр при переходе от любого номерка к следующему изменяется ровно на 1. Но тогда либо у всех номерков в новой строке четность суммы цифр совпадет с четностью места, либо у всех не совпадет.

Значит, у каждого номерка, оставшегося на своем месте, четность суммы цифр совпадает с четностью номерка, или у каждого — не совпадает.

Но тогда не более половины всех номерков могли остаться на своих местах (по замечанию в начале доказательства).

Вот максимум совпадений (50):

09 08 07 06 05 04 03 02 01 00 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
29 28 ...         20 30 31 ...         39
...
...
89 88 87 86 85 84 83 82 81 80 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99

(номерки записаны подряд по строкам; все номерки с нечетным числом десятков остались на месте).

 5 Декабря 2003     22:00 
Раздел каталога :: Ссылка на задачу