1863
358
467
всего задач:
всего разделов:
активных пользователей:
  Login: (регистрация)
  Пароль:
    

30 мартра 2005

Форумы снова функционируют.

21 декабря 2004

Видимо в связи с обнаруженными дырами в phpBB, форум был взломан, а через него взломано и всё остальное содержимое ceemat.ru. Всё кроме форума восстановлено, ведется дискуссия по поводу его сохранения.
Приносим извинения за неудобства.

29 сентября 2004

Форум обновился до версии 2.0.10

15 мая 2004

Новый раздел: "Программирование"

16 апреля 2004 года

Задачи Ярославского турнира математических боев — 124 задачи с решениями.

29 марта 2004

Таллинская викторина: занимательные вопросы и задачи для увлеченных химией.

Rambler's Top100

Костромской ЦДООШ СУНЦ МГУ - Школа им. А. Н. Колмогорова.\r\nОфициальный сайт

Весенний тур. Тренировочный вариант. 10-11 класс (5)

Итог подводился по трем задачам, по которым достигнуты наилучшие результаты.

Стоимость задач
Номер задачи 1 2 3 4 5
Баллы 3 3 4 5 5

Имеется 100 палочек, из которых можно сложить 100-угольник. Может ли случиться, что ни из какого меньшего числа этих палочек нельзя сложить многоугольник?

Ответ: может.

Пример: длины палочек: 2, 4, 8, ..., 299, 2100 - 3.

Из этого набора можно составить многоугольник, так как длина каждой палочки меньше суммы длин всех остальных (достаточно проверить это для самой длинной палочки: 2 + 4 + ... + 299 = 2100 - 2 > 2100 - 3).

Возьмем любой меньший набор из этих палочек и докажем, что из них составить многоугольник нельзя. Рассмотрим 2 случая.

1) Последняя палочка входит в наш набор. Сумма длин всех палочек с 1-ой по 99-ую равна 2100 - 2, и поэтому если каких-то из них не хватает, сумма будет уже меньше длины последней палочки и многоугольник не получится.

2) Последняя палочка не входит в наш набор. Заметим тогда, что длины оставшихся палочек — различные степени двойки, и самая большая из них больше суммы всех остальных.

 5 Декабря 2003     21:59 
Раздел каталога :: Ссылка на задачу