1863
358
468
всего задач:
всего разделов:
активных пользователей:
  Login: (регистрация)
  Пароль:
    

30 мартра 2005

Форумы снова функционируют.

21 декабря 2004

Видимо в связи с обнаруженными дырами в phpBB, форум был взломан, а через него взломано и всё остальное содержимое ceemat.ru. Всё кроме форума восстановлено, ведется дискуссия по поводу его сохранения.
Приносим извинения за неудобства.

29 сентября 2004

Форум обновился до версии 2.0.10

15 мая 2004

Новый раздел: "Программирование"

16 апреля 2004 года

Задачи Ярославского турнира математических боев — 124 задачи с решениями.

29 марта 2004

Таллинская викторина: занимательные вопросы и задачи для увлеченных химией.

Rambler's Top100

Костромской ЦДООШ СУНЦ МГУ - Школа им. А. Н. Колмогорова.\r\nОфициальный сайт

Весенний тур. Тренировочный вариант. 8-9 класс (5)

Итог подводился по трем задачам, по которым достигнуты наилучшие результаты.

Стоимость задач
Номер задачи 1 2 3 4 5
Баллы 4 4 4 5 5

В последовательности натуральных чисел каждое число, кроме первого, получается прибавлением к предыдущему самой большой его цифры. Какое наибольшее количество подряд идущих чисел последовательности могли быть нечетными?

Ответ: 6.

Предположим, что есть последовательность длины 6, удовлетворяющая условию, в которой все числа нечетные. Тогда каждый раз к числу прибавлялась четная цифра, иначе следующее число было бы четным. Значит, максимальная цифра первых пяти чисел четна. Докажем, что эта цифра для этих пяти чисел одна и та же. Действительно, каждый раз к числу прибавляется не больше 10, то есть каждая цифра числа, не считая последней, увеличивается не более чем на 1. Но последняя цифра не может быть максимальной (кроме как в последнем числе последовательности). А значит, если максимальная цифра меняется, то она увеличивается ровно на 1 и становится нечетной. Противоречие.

Предположим, что n — первое число, а q — максимальная цифра. Тогда наша последовательность выглядит так: n, n + q, n + 2q, n + 3q, n + 4q, n + 5q. Если среди последних цифр первых пяти чисел нет 9, то различных последних цифр не более 4, и по принципу Дирихле есть две одинаковые последние цифры. Пусть последние цифры чисел n + iq и n + jq одинаковы (где i < j). Тогда их разность (i - j× q делится на 10. Но i - j < 5 и значит не делится на 5. Цифра q — четная, не равна нулю и значит тоже не делится на 5. Поэтому (i - j× q не делится на 10.

Следовательно, среди последних цифр есть 9. Но это значит, что q не было самой большой цифрой числа (ей была 9). Противоречие. Значит, шести таких чисел не существует. А для пяти есть пример: 807, 815, 823, 831, 839.

 5 Декабря 2003     21:58 
Раздел каталога :: Ссылка на задачу