Командная олимпиада (10)

6.

Расставьте в кружочки числа 1, 2, …, 7 так, чтобы суммы любых трех чисел, стоящих на одной проведенной линии, были равны.

7.

Класс, состоящий из 30 человек, во время дискотеки разбился на 5 групп по 6 человек, причем в любых двух группах оказалось разное количество девочек. Для медленного танца учитель захотел выбрать две группы A и Б, чтобы все ребята из группы A танцевали с ребятами из группы Б (девочки — с мальчиками, а мальчики — с девочками). Обязательно ли учитель найдет две такие группы?

8.

Работник показал хозяину 7 гирек, на которых проставлен вес: 1г, 2г, …, 7г. Хозяин поверил, что одна из гирек весит 1г, вторая — 2г, …, седьмая — 7г, но сомневается, правильно ли на них проставлен вес. Имеются чашечные весы, которые показывают разность масс гирек, положенных на чашки. Как за три взвешивания на этих весах хозяин моет проверить, верно ли проставлен вес гирек?

9.

Выписать в ряд числа 1, 2, …, 10 так, чтобы сумма любого количества с начала стоящих чисел делилась на следующее за ними число.

10.

Рома задумал натуральное число, умножил его на 13, зачеркнул последнюю цифру результата, полученное число умножил на 7, опять зачеркнул последнюю цифру результата и получил число 21. Какое число задумал Рома?