1863
358
469
всего задач:
всего разделов:
активных пользователей:
  Login: (регистрация)
  Пароль:
    

30 мартра 2005

Форумы снова функционируют.

21 декабря 2004

Видимо в связи с обнаруженными дырами в phpBB, форум был взломан, а через него взломано и всё остальное содержимое ceemat.ru. Всё кроме форума восстановлено, ведется дискуссия по поводу его сохранения.
Приносим извинения за неудобства.

29 сентября 2004

Форум обновился до версии 2.0.10

15 мая 2004

Новый раздел: "Программирование"

16 апреля 2004 года

Задачи Ярославского турнира математических боев — 124 задачи с решениями.

29 марта 2004

Таллинская викторина: занимательные вопросы и задачи для увлеченных химией.

Rambler's Top100

Костромской ЦДООШ СУНЦ МГУ - Школа им. А. Н. Колмогорова.\r\nОфициальный сайт

Третий тур боев (14)

Квадрат со стороной 1 разрезается на прямоугольники, периметр каждого из которых равен 2.
a) Может ли при этом получиться 5 частей?
b) Сколькими способами можно получить 6 частей?
c) Какое количество частей можно получить?

a) Ответ: может.

Пример показан на рисунке (прямоугольники, прилегающие к сторонам квадрата, со сторонами 0,25 и 0,75, а квадрат в центре имеет стороны с длиной 0,5).

b) Ответ: одним.

Два угла квадрата не могут принадлежать одному прямоугольнику, иначе длина одной стороны этого прямоугольника будет равна 1, что невозможно. Значит, четыре угла квадрата занимают четыре разных прямоугольника. Так как периметр каждого прямоугольника равен 2, то AD2 + AA1 = 1 (показано на рисунке); но AA1 + A1B = 1, следовательно, AD2 = A1B.

Аналогично, A2B = B1C, B2C = C1D, C2D = AD1.

Из рисунка видно, что

AD2 = A1B ³ A2B = B1C ³ B2C = C1D ³ C2D = AD1 ³ AD2.

Из неравенства следует, что во всех нестрогих неравенствах должно выполняться равенство, то есть должны совпасть точки A1 и A2, B1 и B2, C1 и C2, D1 и D2. Значит, к сторонам квадрата могут примыкать только четыре равных прямоугольника (так, как в примере, приведенным в пункте a)), в центре данного квадрата они ограничивают квадрат.

Чтобы получить 6 прямоугольников, необходимо квадрат, ограниченный прямоугольниками, разрезать на два прямоугольника. Так как периметры прямоугольников равны, то и сами прямоугольники здесь должны быть равны. То есть, разрезать на 6 частей можно только одним способом. Как это сделать, показано на рисунке (длины сторон прямоугольников 1 равны 1/6 и 5/6, длины сторон прямоугольников 2 — 1/3 и 2/3).

c) Ответ: любое, большее трех.

Пусть надо разрезать квадрат на (n + 3) прямоугольника периметра 2 (n ³ 1). Четыре из них будут прилегать к сторонам квадрата; квадрат, ограниченный этими прямоугольниками разделим на n равных прямоугольников прямыми, параллельными стороне квадрата (показано на рисунке).

Если стороны прямоугольников, прилегающих к сторонам данного квадрата, равны 1 / (2n) и (1 – 1 / (2n)), то стороны остальных прямоугольников будут равны (n – 1) / n и 1 / n. То есть периметры всех прямоугольников будут равны 2.

Задание. Обобщим результаты задачи: можно получить любое количество частей, не меньшее 4, причем разрезать на 4, 5, 6 частей можно только единственным способом. А сколькими способами можно разрезать на n прямоугольников периметра 2 (n ³ 7)?

 21 Ноября 2003     15:06 
Раздел каталога :: Ссылка на задачу