358
471
всего разделов:
активных пользователей:
30 мартра 2005
Форумы снова функционируют.
21 декабря 2004
Видимо в связи с обнаруженными дырами в phpBB, форум был взломан, а через него взломано и всё остальное содержимое ceemat.ru. Всё кроме форума восстановлено, ведется дискуссия по поводу его сохранения.
Приносим извинения за неудобства.
29 сентября 2004
Форум обновился до версии 2.0.10
15 мая 2004
Новый раздел: "Программирование"
16 апреля 2004 года
Задачи Ярославского турнира математических боев — 124 задачи с решениями.
29 марта 2004
Таллинская викторина: занимательные вопросы и задачи для увлеченных химией.
Вариант боев 5 (8)
Пусть [a, b, c] — наименьшее общее кратное натуральных чисел a, b и c. Может ли для каких-нибудь x, y и z оказаться, что [x, y, z] = [x + 1, y + 1, z + 1] = [x + 2, y + 2, z + 2]? |
Ответ: нет. Решение. Предположим, что для некоторых натуральных чисел x, y, z, N выполняются равенства [x, y, z] = [x + 1, y + 1, z + 1] = [x + 2, y + 2, z + 2] = N. Тогда числа xyz, (x + 1)(y + 1)(z + 1), (x + 2)(y + 2)(z + 2) кратны числу N. Значит, делится на N и число, равное xyz – 2(x + 1)(y + 1)(z + 1) + (x + 2)(y + 2)(z + 2) = 2(x + y + z + 3). Пусть x £ y £ z, тогда 2(x + y + z + 3) £ 6(z + 1). С другой стороны, N ³ (z + 1)(z + 2), поскольку числа z + 1 и z + 2 взаимно просты. Тогда (z + 1)(z + 2) £ 6(z + 1) и, следовательно, z £ 4. Последнее неравенство позволяет провести перебор, в результате которого устанавливается, что чисел x, y, z, удовлетворяющих условию задачи, не существует. |
Автор задачи — С. Токарев |
11 Ноября 2003 18:31 Раздел каталога :: Ссылка на задачу
|