Вариант боев 5 (8)

Решение. Требуемым условиям удовлетворяют, например, 16-значные числа вида

где первые 10 цифр — единицы, а а_i (i = 11, 12, …, 16) — любые цифры.

В самом деле, если А — такое число, то либо у него, либо у числа А – 10¹⁵ сумма цифр четна, и очевидно, что при таком условии все 16 или 15 цифр разбиваются на две группы с одинаковой суммой. Обозначим эти группы через I и II.

Если четной суммой цифр обладает А, то можно положить

где b_i + c_i = a_i, i = 1, 2, …, 16, причем b_i = a_i, если цифра a_i попала в группу I, и c_i = a_i, если a_i попала в группу II.

Если же четной суммой обладает число А – 10¹⁵, то

где b_i + c_i = a_i, i = 3, 4, …16, причем b_i = a_i, если цифра a_i попала в ту же группу, что и цифра a₂ , и c_i = a_i, в противном случае.

Автор задачи — С. Токарев